Archives mensuelles : septembre 2012

ensembles et catégories

commençons de façon simple , en récapitulant nos acquis du passé :

 

– comme l’a démontré Alain Badiou, l’ontologie est la théorie mathématique des ensembles, ou encore la théorie du multiple pur, »sans-Un », des multiples-de-multiples

 

– sur l’autre versant de la pensée mathématique, la théorie des catégories doit porter, ou correspondre à, non pas la « théorie de l’Un » (ce qui serait un oxymore) mais à la pensée selon l’Un, par opposition à la pensée selon l’Etre

 

Comme attendu, les ensembles ne « font pas Un » : il n’y a pas d’ensemble de tous les ensembles.

 

Par contre il y a une catégorie des ensembles, qui est le premier exemple d’un topos

 

Autre résultat connu : tout ensemble peut être vu comme une catégorie, une catégorie sans morphismes.

 

par contre toute autre catégorie n’est pas un ensemble.

 

Nous pouvons donc dire, de façon simple certes, que la théorie du multiple pur, la pensée selon l’Etre, est « contenue dans  » (??)  la pensée selon l’Un

 

Jérémie 31:22 :

 

http://www.enseignemoi.com/bible/jeremie-31-darby.html

 

« Jusques à quand seras-tu errante, fille infidèle? Car l’Éternel a créé une chose nouvelle sur la terre: une femme entourera l’homme. »

 

maintenant essayons de poursuivre ce genre de « réflexions à bâtons rompus » au moyen des instruments mathématiques que nous connaissons.

 

Une idée se présente immédiatement :

 

les foncteurs entre la catégorie des ensembles et une autre catégorie

 

on sait que cela s’appelle un préfaisceau et c’est aussi un topos, c’est noté :

 

  SetsC

 

(en fait C = Cop  mais peu importe ici)

 

http://ncatlab.org/nlab/show/presheaf

 

nous connaissons certains exemples de tels foncteurs, qui sont les foncteurs Hom :

 

Hom (., X ) : Y → Hom(Y,X)  contravariant

ou

 

Hom(X,.) : Y → Hom (X,Y) coivariant

 

et les foncteurs isomorphes à un tel foncteur Hom pour un objet X , ce sont les foncteurs dits représentables :

 

http://fr.wikipedia.org/wiki/Foncteur_repr%C3%A9sentable