Archives mensuelles : juillet 2015

La table d’émeraude et la première règle pour la direction de l’esprit de Descartes

Henosophia RENATUS μαθεσις uni√ersalis οντοποσοφια

la Table d’émeraude a fait l’objet de deux articles:

https://meditationesdeprimaphilosophia.wordpress.com/2015/07/12/la-table-demeraude-et-la-henosophia-τοποσοφια-οντοποσοφια-μαθεσι/

et

https://meditationesdeprimaphilosophia.wordpress.com/2015/07/13/la-table-demeraude-la-τοποσοφια-μαθεσις-uni√ersalis-οντοποσοφ/

Le début de l’écrit hermétique de la Table d’émeraude est :

« Il est vrai, sans mensonge, certain, & très véritable: Ce qui est en bas, est comme ce qui est en haut; et ce qui est en haut est comme ce qui est en bas, pour faire les miracles d’une seule chose. Et comme toutes les choses ont été, & sont venues d’un, par la médiation d’un : ainsi toutes les choses ont été nées de cette chose unique, par adaptation. »

nous voulons rapprocher et comparer ce texte de celui de la Regula 1 et de son commentaire par Descartes:

https://fr.m.wikisource.org/wiki/Règles_pour_la_direction_de_l’esprit

« Règle première.

Le but des études doit être de diriger l’esprit de manière à ce qu’il porte des jugements solides et vrais sur tout ce qui se présente à lui.

Toutes les fois que…

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#GrothendieckTopos 5 idée centrale du cours sur les topoi de Grothendieck comme ponts unifiants

Dans l’article précédent à propos du cours d’Olivia Caramello:

https://mathesisuniversalis.wordpress.com/2015/07/22/grothendiecktopos-4-faisceaux-sur-un-site-topos-de-grothendieck/

nous étions arrivés à la définition des topoi de Grothendieck comme catégories de la forme :

Sh(C,J)

c’est à dire des catégories de faisceaux sur un site, un site étant une paire (C,J) d’une catégorie C et d’une topologie de Grothendieck.

Aujourd’hui nous regardons la vidéo 6 du cours d’Olivia:

https://sites.google.com/site/logiquecategorique/cours/topos_caramello/cours-du-14-janvier-2013-rappels-sur-les-topos-de-grothendieck#TOC-L-id-e-centrale-de-ce-cours-:-la-non-canonicit-comme-atout

ayant pour titre « L’idée centrale de ce cours : la non-canonicité comme atout ».

A vrai dire la définition d’un topos de Grothendieck est celle donnée ci dessus mais à une équivalence près : c’est une catégorie de la forme Sh(C,J) ou une catégorie équivalente.
Une équivalence entre catégories est une notion un peu plus souple qu’un isomorphisme de categories (c’est à dire l’existence d’un foncteur inversible entre les deux), pour l’équivalence on ne requiert plus l’isomorphisme strict:

https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Équivalence_de_catégories

C’est ce qu’Olivia veut dire en faisant remarquer que cette définition d’un topos n’est pas intrinsèque, puisqu’elle dépend du site. Il existe des définitions intrinsèques, comme celle de Giraud, mais dans l’optique qui est la nôtre, celle de l’unification, c’est une supériorité, non un inconvénient.

Car par la notion d’équivalence :

Sh(C,J) ≅ Sh(B,K)

un même topos de Grothendieck peut correspondre à plusieurs sites différents, comme (C,J) et (B,K), c’est à dire à plusieurs domaines mathématiques, et donc servir à transporter « des résultats, des notions, des concepts » d’un domaine à l’autre.

Ceux qui connaissent déjà ces idées peuvent d’ores et déjà avancer dans les travaux écrits d’Olivia Caramello, en commençant par ce lien ci:

http://www.oliviacaramello.com/Unification/ToposesBridges.html

mais nous continuerons d’abord à suivre les vidéos jusqu’à la fin, avant de passer à des notions plus complexes.

Je rappelle aussi la note de Laurent Lafforgue sur les travaux de Caramello:

https://mathesisuniversalis2.wordpress.com/2015/07/22/une-note-de-laurent-lafforgue-sur-les-travaux-dolivia-caramello/

ainsi que ce merveilleux article du même Laurent Lafforgue sur Simone Weil et la mathématique :

https://mathesisuniversalis.wordpress.com/2015/06/03/simone-weil-et-la-mathematique/

où il relie la pensée de Grothendieck (et donc les théories de Caramello) et les intuitions philosophiques et religieuses de celle que son Maître Alain appelait « la martienne »:

« l’oeuvre merveilleusement géométrique et conceptuelle d’un autre géant des mathématiques de notre temps, Alexandre Grothendieck, n’est pas sans faire écho à certaines intuitions de Simone Weil  »

Ceci traduit aussi le parcours, l’aventure d’idées proposée par ces blogs

HENOSOPHIA τοποσοφια μαθεσις υνι√ερσαλις οντοποσοφια ενοσοφια

Nous devrons passer par des cimes mathématiques escarpées, sous la forme de théories d’une difficulté extrême, mais nous espérons à la fin parvenir au SIMPLE et au DÉPOUILLEMENT EXTRÊME, jusque à ce point d’incandescence où tous nos « problèmes » se seront évanouis comme une fumée dans l’air limpide d’un matin d’été, et où nous aurons réussi à « faire sauter la caverne des fantômes » comme le Maître Zen cité par Suzuki.

La nature duale de la théorie des topoi: géométrique et logique

Henosophia Τοποσοφια οντοποσοφια μαθεσις uni√ersalis ενοσοφια

Je rappelle l’existence de cet article « Locales and toposes as spaces »:

http://www.cs.bham.ac.uk/~sjv/LocTopSpaces.pdf

dont j’avais parlé ici:

https://mathesisuniversalis2.wordpress.com/2015/04/08/topoi-de-grothendieck-2-la-double-origine-geometrique-et-logique-de-la-theorie-des-topoi/

double nature qui correspond aux deux créateurs de la théorie des topoi : Grothendieck (pour la géométrie algébrique, qui n’est rien d’autre que la continuation des travaux de Descartes) et William Lawvere (pour la logique).

Et le fait que Lawvere ait donné cette année un cours spécial sur Grothendieck et la conception moderne de l’espace est hautement significatif :

http://ct2015.web.ua.pt/abstracts/lawvere_b.pdf

La mathématique est le domaine de l’unification comme l’indique d’ailleurs Lawvere lui même à propos de la création de la théorie des catégories par Mac Lane et Eilenberg (page 3 de l’interview suivante):

http://www.mat.uc.pt/~picado/lawvere/interview.pdf

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Conférence internationale de théorie des catégories CT2015

HENOSOPHIA Τοποσοφια μαθεσις uni√ersalis οντοποσοφια

La conférence annuelle CT2015 s’est tenue au Portugal à l’universited’Aveiro du 14 au 19 juin 2015.

Vous avez ici la liste des exposés, avec pour la plupart les « slides » (texte de l’exposé):

http://ct2015.web.ua.pt/talks.html

A noter que William Lawvere, inventeur avec Grothendieck de la théorie des topoi (Grothendieck pour le versant géométrique, Lawvere pour le versant logique) a donné un cours sur le thème:

« Alexandre Grothendieck et la conception moderne de l’espace »

dont le résumé est ici:

http://ct2015.web.ua.pt/abstracts/lawvere_b.pdf

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