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2-catégories vues comme « doctrines »

Nous avons déjà vu l’importance des 2-catégories comme cadre théorique de l’adjonction:

https://mathesisuniversalis.wordpress.com/2015/07/17/adjonction-3-dans-le-cadre-des-2-categories/

Elles peuvent être regardées comme des ensembles structurés, des catégories, de théories, appelées « doctrines »:

https://en.m.wikipedia.org/wiki/2-category#Doctrines

Les objets sont vus commes les théories, les 1-morphismes comme modèles des théories et les 2-morphismes comme morphisme sur entre les modèles.
La page du Nlab est beaucoup plus détaillée là dessus:

http://ncatlab.org/nlab/show/doctrine

On lui adjoindra cet article du blog n-category cafe, portant à la fois sur la physique, la mathématique et la philosophie:

https://golem.ph.utexas.edu/category/2006/09/doctrines.html

en suivant les dialogues entre ces penseurs à chaque article : dans ce blog les réponses aux articles sont souvent aussi intéressantes, sinon plus.

D’ailleurs je me demande pourquoi je me fatigue à faire mes blogs, alors que tout est déjà là dans « n-category cafe », et que je ne risque pas d’atteindre un jour leur niveau en maths et en physique.

La réponse à cette question en forme d’aporie que je me pose à moi même n’est pas:

« Parce qu’il faut bien quelque chose quand on n’a plus de goût pour rien de ce qui intéresse en général les humains »

mais

« Parce que mon point de vue est différent, quoique difficile à préciser : la « pensée selon l’un », thème le plus crucial de la pensée de Brunschvicg, est quelque chose de tellement important qu’elle efface tout le reste, sciences comprises, et vaut bien qu’on lui consacre le restant de sa vie, au risque de ne déboucher sur rien (ce qui est de toutes façons l’aboutissement final de ceux qui ne vivent que pour vivre). »

Le paragraphe important dans la page Nlab est « Idea » et le mot important, en hyperlien qui mène à une autre page, est : « categorification »:

http://ncatlab.org/nlab/show/vertical+categorification

En gros cela consiste à monter d’un cran dans l’arbre des n-catégories : ainsi la categorification de l’idée « ensemble » est la catégorie, la categorification du groupe est le groupoide, celle de l’idée de catégorie est l’idée de 2-catégorie, etc..

Les doctrines sont donc des 2-théories, catégorification de l’idée de théorie.

Informelle ment, le modèle d’une théorie est une structure mathématique où cette théorie fonctionne : ainsi un groupe est un modèle de la théorie des groupes.

Mais cette conception qui consiste à considérer une 2-catégorie comme une doctrine, dont les théories(qui sont des catégories) sont les objets et les 1-morphismes (qui sont des foncteurs) sont des « modèles »permet de donner un sens rigoureux, alternatif à la logique mathématique (profondément revisité par les travaux de Lawvere entre autres), à ces notions.

Un foncteur:
F : C —————> D

est un modèle de C (vue comme théorie) dans D.

John Baez donne plusieurs exemples dans le lien ci dessus du n-category cafe, le plus simple étant la doctrine des théories algébriques, dont les objets sont les catégories munies des produits finis (ce qui veut dire qu’on peut y définir le produit d’un nombre fini d’objets), les morphisme sur sont les foncteurs préservant les produits finis, et les 2-morphismes sont les transformations naturelles.

Cette doctrine qu’il appelle FinProdCat « encode » ce que l’on appelle en logique « algèbre universelle », dont Baez donne un lien de cours:

http://www.math.uwaterloo.ca/~snburris/htdocs/ualg.html