Archives quotidiennes :

Bicategory of Topoi and spectra

Henosophia Τοποσοφια οντοποσοφια μαθεσις uni√ersalis ενοσοφια

http://www.oliviacaramello.com/Unification/ColeBicategoryTopoiSpectra.pdf

Comme je l’ai dit ailleurs je glane toutes les informations possibles sur la 2-categorie Topos comme cadre général de mes travaux, voir:

https://mathesisuniversalis.wordpress.com/2015/06/24/morphismes-geometriques-et-2-categorie-topos-des-topoi-comme-cadre-general-de-nos-travaux/

Je mets donc ce nouvel article en réserve pour étude ultérieure, il envisage Topos d’un point de vue différent.

Voir l’article original

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L’humanité est dans les ténèbres …sur la théorie des « higher categories »

Vous rappelez vous cet article ?

https://mathesisuniversalis.wordpress.com/2015/06/24/morphismes-geometriques-et-2-categorie-topos-des-topoi-comme-cadre-general-de-nos-travaux/

Si vous suivez les travaux entrepris ici, mettez le dans un coin de votre tête car il définit le cadre de ces travaux (enfin pour l’instant) et je cherche sans arrêt à glaner des connaissances sur cette 2-categorie >Topos

Or je viens de tomber sur cette question dans « Mathoverflow », et surtout le dialogue qui s’ensuit:

http://mathoverflow.net/questions/5457/omega-topos-theory

question posée par quelqu’un qui lit le livre de près de mille pages de Jacob Lurie, donc nettement en avance sur nous.

Voici trois réponses typiques qu’il provoque et qui semblent doucher son bel enthousiasme:

« The short answer is no. Even 2-toposes are poorly understood — we don’t know what the right definition is. For higher dimensions, including ∞, we definitely don’t have the answers.
…..

the ignorance of humanity on higher categories should never be underestimated. The answer to almost any intelligent question is « no one knows precisely (though many people have made guesses) »…..

…One should keep in mind that Jacob Lurie’s book « only » (if I may use this word) discusses the (oo,1)-version of Grothendieck toposes/category of sheaves: the (oo,1)-toposes in Jacob Lurie’s book are (oo,1)-categories of (oo,1)-sheaves/of oo-stacks….

….

Similarly, while a general theory of n-toposes for higher n is largely missing, there is a bit more known about (oo,n)-sheaves, i.e. of oo-stacks which are presheaves with values not just in oo-groupoids but in (oo,n)-categories.
Un lien qui est tout à fait exaltant, pas du tout désespérant..
Car nos connaissances si pauvres en ce domaine sont appelées à augmenter, et j’ai la conviction (motivée par mon article que j’ai cité au début) que c’est précisément « là que cela se passe » pour le changement de niveau de l’humanité.
Certes trouver des planètes similaires à notre Terre à plus de mille années-lumière c’est passionnant, comme envoyer un robot sur une comète..

Mais qu’est ce que cela représente face à ces recherches sur la « higher topos theory » où se trouve, j’en ai la conviction, la clef de cette initiation universelle qu’est la « pensée selon l’un »?

Le point de départ est si simple : il consiste à mettre l’accent sur les flèches, foncteurs, transformations, plutôt que sur les points, éléments, objets, substances..
Il y a aussi un autre passage important dans ce lien:

« 

Why shouldn’t the primordial example of a 2-topos be Topos (the 2-category of toposes, logical morphisms, and natural transformations »

Oui mais la nôtre est celle qui a comme 1-morphismes les morphismes géométriques, non les « logical morphismes »

Or ce sont des morphismes tout à fait différents et il existe bien une 2-categorie des topos avec les morphismes logiques comme 1-morphismes, qui s’appelle LogTopos, ou Log, cet autre lien de Mathoverflow en parle:

http://mathoverflow.net/questions/70816/is-the-category-of-toposes-cocomplete

et voir aussi celui ci sur la 2-catégorie Topos:

http://mathoverflow.net/questions/59862/does-the-2-category-of-toposes-admit-pseudo-colimits

Action d’un foncteur sur une transformation

HENOSOPHIA Τοποσοφια μαθεσις uni√ersalis οντοποσοφια

Nous avons déjà rencontré ce cours « Groupoides quantiques et logiques tensorielles » à propos de l’adjonction et des 2-catégories:

http://www.pps.univ-paris-diderot.fr/~mellies/slides/ed-cours-2.pdf

Page 5 à 8 il constitue un bon résumé sur les catégories et foncteurs.

Page 9 il explique la notion de « transformation », qui est plus générale que celle de transformation naturelle à laquelle nous avons consacré cet article:

https://mathesisuniversalis2.wordpress.com/2015/07/07/transformations-naturelles/
C’est simple : une transformation entre deux foncteurs F et G reliant les deux mêmes catégories A et B:

F, G : A ——————-> B

est une famille de flèches θ dans la catégorie cible B qui est indexée par les objets a de la catégorie source A, ces morphismes étant (pour tout objet a variant dans A:

θ_a : Fa ————–> Ga

( Fa et Ga sont des objets de B, correspondants de a par les foncteurs F et G)

La condition de commutativité des carrés pour que la transformation soit…

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