#GrothendieckTopos 5 idée centrale du cours sur les topoi de Grothendieck comme ponts unifiants

Dans l’article précédent à propos du cours d’Olivia Caramello:

https://mathesisuniversalis.wordpress.com/2015/07/22/grothendiecktopos-4-faisceaux-sur-un-site-topos-de-grothendieck/

nous étions arrivés à la définition des topoi de Grothendieck comme catégories de la forme :

Sh(C,J)

c’est à dire des catégories de faisceaux sur un site, un site étant une paire (C,J) d’une catégorie C et d’une topologie de Grothendieck.

Aujourd’hui nous regardons la vidéo 6 du cours d’Olivia:

https://sites.google.com/site/logiquecategorique/cours/topos_caramello/cours-du-14-janvier-2013-rappels-sur-les-topos-de-grothendieck#TOC-L-id-e-centrale-de-ce-cours-:-la-non-canonicit-comme-atout

ayant pour titre « L’idée centrale de ce cours : la non-canonicité comme atout ».

A vrai dire la définition d’un topos de Grothendieck est celle donnée ci dessus mais à une équivalence près : c’est une catégorie de la forme Sh(C,J) ou une catégorie équivalente.
Une équivalence entre catégories est une notion un peu plus souple qu’un isomorphisme de categories (c’est à dire l’existence d’un foncteur inversible entre les deux), pour l’équivalence on ne requiert plus l’isomorphisme strict:

https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Équivalence_de_catégories

C’est ce qu’Olivia veut dire en faisant remarquer que cette définition d’un topos n’est pas intrinsèque, puisqu’elle dépend du site. Il existe des définitions intrinsèques, comme celle de Giraud, mais dans l’optique qui est la nôtre, celle de l’unification, c’est une supériorité, non un inconvénient.

Car par la notion d’équivalence :

Sh(C,J) ≅ Sh(B,K)

un même topos de Grothendieck peut correspondre à plusieurs sites différents, comme (C,J) et (B,K), c’est à dire à plusieurs domaines mathématiques, et donc servir à transporter « des résultats, des notions, des concepts » d’un domaine à l’autre.

Ceux qui connaissent déjà ces idées peuvent d’ores et déjà avancer dans les travaux écrits d’Olivia Caramello, en commençant par ce lien ci:

http://www.oliviacaramello.com/Unification/ToposesBridges.html

mais nous continuerons d’abord à suivre les vidéos jusqu’à la fin, avant de passer à des notions plus complexes.

Je rappelle aussi la note de Laurent Lafforgue sur les travaux de Caramello:

https://mathesisuniversalis2.wordpress.com/2015/07/22/une-note-de-laurent-lafforgue-sur-les-travaux-dolivia-caramello/

ainsi que ce merveilleux article du même Laurent Lafforgue sur Simone Weil et la mathématique :

https://mathesisuniversalis.wordpress.com/2015/06/03/simone-weil-et-la-mathematique/

où il relie la pensée de Grothendieck (et donc les théories de Caramello) et les intuitions philosophiques et religieuses de celle que son Maître Alain appelait « la martienne »:

« l’oeuvre merveilleusement géométrique et conceptuelle d’un autre géant des mathématiques de notre temps, Alexandre Grothendieck, n’est pas sans faire écho à certaines intuitions de Simone Weil  »

Ceci traduit aussi le parcours, l’aventure d’idées proposée par ces blogs

HENOSOPHIA τοποσοφια μαθεσις υνι√ερσαλις οντοποσοφια ενοσοφια

Nous devrons passer par des cimes mathématiques escarpées, sous la forme de théories d’une difficulté extrême, mais nous espérons à la fin parvenir au SIMPLE et au DÉPOUILLEMENT EXTRÊME, jusque à ce point d’incandescence où tous nos « problèmes » se seront évanouis comme une fumée dans l’air limpide d’un matin d’été, et où nous aurons réussi à « faire sauter la caverne des fantômes » comme le Maître Zen cité par Suzuki.

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2 réflexions au sujet de « #GrothendieckTopos 5 idée centrale du cours sur les topoi de Grothendieck comme ponts unifiants »

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