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Propriété universelle en théorie des catégories

HENOSOPHIA τοποσοφια μαθεσις υνι√ερσαλις οντοποσοφια

Je vais insister sur la propriété d’universalité, intimement liée à l’idée d’adjonction, ainsi qu’à la théorie des catégories (qui est le royaume, ou ciel platonique, des universaux concrets chers à Hegel) comme je l’ai expliqué hier dans cet article::

https://mathesisuniversalis.wordpress.com/2015/08/12/david-ellerman-foncteurs-adjoints-et-heteromorphismes/

Commençons par la page Wikipedia en anglais:

https://en.m.wikipedia.org/wiki/Universal_property

qui comme souvent est préférable à celle en français (nous avons déjà constaté cela à propos des algèbres de Von Neumann):

https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Propriété_universelle

La page en anglais se place dans une plus grande généralité puisqu’elle envisage un foncteur entre deux catégories quelconques, alors que dans la page en français la seconde catégorie est celle des ensembles. La page en français commence abruptement par une définition mais comme elle ne donne pas de figure ceux qui ne sont pas habitués sont largués, et c’est dommage.

Donc donnons nous un foncteur entre deux catégories D et C (qui ne sont pas forcément la catégorie des…

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David Ellerman : foncteurs adjoints et hétéromorphismes

David Ellerman est un savant, un mathématicien, qui accorde beaucoup d’importance aux questions philosophiques.

Deux papiers très originaux de lui existent sur l’adjonction, dont nous avons reconnu ici l’importance fondamentale:

https://meditationesdeprimaphilosophia.wordpress.com/2015/07/06/une-notion-fondamentale-ladjonction/

Nous commencerons par le papier le plus court:

« Adjoint functors and heteromorphisms »

consacré à l’approche de l’adjonction par la notion d’hétéromorphismes par opposition aux homomorphismes, qui sont les morphismes classiques dans une catégorie fixée (aucun rapport avec hétérosexuels et homosexuels):

http://www.ellerman.org/Davids-Stuff/Maths/Het-Theory.pdf

Nous passerons ensuite à l’autre, nettement plus long:

« A theory of adjoint functors witz some thoughts about their philosophical significance »

http://www.ellerman.org/Davids-Stuff/Maths/Ellerman-Theory%20of%20Adjoint%20Functors-Reprint.pdf

Il est clair que les deux papiers se recoupent, on peut d’ailleurs les étudier en même temps, mais fidèle à ma méthode, qui est d’aller lentement pour que tous ceux et celles disposés à faire un effort puissent suivre « en gros », même s’ils n’ont aucune connaissance préalable de ces domaines.
Étant donnée encore une fois l’importance cruciale de l’adjonction, nous prendrons..le temps qu’il faudra, en notant d’ailleurs que le premier papier,Noé plus court, débute en rappelant justement l’importance de cette notion, qui est expliquée ici par Ellerman d’une manière qui se retrouve rarement dans les livres consacrés à la théorie des catégories, sinon jamais…

Ellerman donne dans le paragraphe 1 une caractérisation, plutôt qu’une définition, de la théorie des catégories qui permet d’avoir des lumières nouvelles sur le rôle fondationnel tout autant que fondamental de cette théorie, aussi bien en mathématiques qu’en physique ou en philosophie.
Il dit:

« Le rôle fondationnel de la théorie des catégories consiste à nous pourvoir de « lunettes ou lentilles conceptuelles » propres à nous faire voir en le caractérisant précisément ce qui est naturel et universel dans les mathématiques »

Je ne saurais trop insister sur l’importance de cette observation, qui met l’accent sur deux idées : les propriétés et constructions universelles (« Universal mapping property ») et les transformations naturelles (avec la propriété de naturalité).

Sur la naturalité voir:

https://mathesisuniversalis2.wordpress.com/2015/07/07/transformations-naturelles/

et

https://mathesisuniversalis2.wordpress.com/2015/07/26/action-dun-foncteur-sur-une-transformation/

(Qui donne un lien intéressant et clair)

Sur les universaux voir un autre papier de David Ellerman:

http://www.ellerman.org/Davids-Stuff/Maths/Conc-Univ.pdf

que j’ai résumé dans cette page:

https://leonbrunschvicg.wordpress.com/universalisme-concret-categorique-ou-abstrait-ensembliste/