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Foncteurs adjoints : hétéromorphismes et homomorphismes

HENOSOPHIA τοποσοφια μαθεσις υνι√ερσαλις οντοποσοφια

Nous poursuivons l’étude du travail de David Ellerman sur la théorie des foncteurs adjoints et de l’adjonction qui est avec l’universalité l’un des thèmes les plus importants et les plus spécifiques de la théorie des catégories:

http://www.ellerman.org/Davids-Stuff/Maths/Het-Theory.pdf

Un (homo)morphisme est un morphisme, une flèche, entre deux objets d’une même catégorie, qui est (dans le cas des catégories concrètes) une collection d’entités mathématiques partageant la même structure reliées par des (homo)morphismes conservant la structure : ainsi dans le cas de la catégorie Grp des groupes les (homo)morphismes sont les flèches envoyant l’élément neutre du groupe source sur l’élément neutre du groupe cible, et telles que l’image du produit de deux éléments est le produit des images: f(a*b) = f(a)*f(b)

Un hétéromorphismes est une flèche entre deux objets appartenant à des catégories différentes : on appelle aussi un tel hétéromorphismes un morphisme-chimère (« chimera-morphism ») ou doit on traduire morphisme chimérique ?
On les…

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Plan de travail sur les topoi et les n-topoi

Je me suis déjà expliqué sur le programme à suivre, notamment ici:

https://mathesisuniversalis.wordpress.com/2015/06/24/morphismes-geometriques-et-2-categorie-topos-des-topoi-comme-cadre-general-de-nos-travaux/

Ce projet de « parcours » n’est rien d’autre que l’axe horizontal de la « loi de création » d’Hoené Wronski (1776-1853) entre l’élément-être EE et l’élément-savoir ES, mais totalement réintégré dans la mathematique, à savoir le SEUL domaine théorique où l’on puisse réellement vérifier, ou réfuter, en démontrant rigoureusement nos propres affirmations.
J’ai aussi expliqué, à propos du travail extraordinaire de David Ellerman « Concrete universels in category theory » que nous nous situons ici complètement sur le plan de l’Idee, fidèles à l’obligation de la physique de « dissoudre » ses objets en entités mathématiques. Les êtres, pour nous, ce ne sont plus les arbres, les maisons, les chaises : ce sont les ensembles, et l’ontologie c’est la théorie des ensembles, qui étudie le topos paradigmatique des ensembles, qui est abordable par la théorie des topoi élémentaires, c’est à dire comme catégorie qui a toutes les limites finies, qui est cartésienne fermée, et qui a un classificateur de sous-objets ( qui dans le cas du topos Ens est l’ensemble {0, 1} des valeurs de vérité, c’est ce que Badiou appelle le transcendantal Ω dans un topos quelconque).
Une définition alternative des topoi élémentaires est : ce sont les catégories qui ont toutes les limites finies et aussi les « power objects », qui dans le cas des ensembles sont les ensembles des parties P(X) d’un ensemble X.
Sur tout cela voir la page du Nlab:

http://ncatlab.org/nlab/show/topos
mais nous reviendrons sur toute ces idées non encore abordées (limites, classificateur de sous-objets, etc..)
L’autre façon d’aborder les topoi, c’est la théorie des topoi de Grothendieck, qui revient au même, mais avec des liens avec la topologie notamment.
Un topos de Grothendieck est la généralisation des faisceaux sur un espace topologique X :

Sh(X)

Si l’on prend pour X l’espace réduit à un point {*} on obtient le topos des ensembles:

Ens = Sh(*)

Le « trajet » dans le « monde des idées » que nous visons part donc du topos Ens = Sh(*) comme topos ontologique, Idée de la multiplicité pure sans relations entre les objets, et donc de l’ignorance : il n’est donc pas étonnant que la physique « classique », élaborée il y a quatre siècles, corresponde selon les théories récentes de la « physique des topoi » (« topos physics ») à ce topos des ensembles qui est en quelque sorte son cadre théorique.
Le trajet peut aussi être considéré comme celui de l’unification progressive, c’est à dire de l’intelligibilité et du Savoir croissant: de l’élément-être EE qui est dans notre schéma, ou correspond au topos Ens, en s’élevant progressivement vers ES élément-savoir selon l’échelle des topoi ayant « plus de structure » et celle des 2-topoi, n-topoi : la « higher topos theory ».
Cela est d’autant plus exaltant que ce domaine est en friches, il est en quelque sorte le « 

Far West

 » des mathématiciens-philosophes, exploré seulement par quelques pionniers solitaires comme Jacob Lurie:

https://meditationesdeprimaphilosophia.wordpress.com/2015/06/19/jacob-lurie-continuateur-de-grothendieck/

Mais même l’énorme livre de Jacob Lurie, près de mille pages, « Higher topos theory » n’aborde qu’une partie très restreinte de l’immense domaine : celui des

(∞,1)-topoi

Voir:

http://ncatlab.org/nlab/show/%28infinity%2C1%29-topos+theory

et

https://mathesisuniversalis.wordpress.com/2015/07/26/lhumanite-est-dans-les-tenebres-sur-la-theorie-des-higher-categories/

La première marche que nous devons gravir après les topoi est celle des 2-topoi sur laquelle des travaux existent.

Or si l’exemple paradigmatique d’un topos est la catégorie Ens des ensembles, l’exemple paradigmatique d’un 2-topos est la 2-catégorie CAt des catégories, foncteurs et transformations naturelles.

http://ncatlab.org/nlab/show/Cat

Or deux théories entièrement categoriques, largement dûes à William Lawvere, existent sur la théorie et la catégorie des ensembles et sur la 2-catégorie des catégories:

ETCS (« elementary theory of the category of Sets » voir:

http://ncatlab.org/nlab/show/ETCS

et ETCC (« elementary theory of the category of categories »)

voir:

http://ncatlab.org/nlab/show/ETCC