Survol de la théorie des n-catégories (« Higher category theory »)

Je n’ai pas encore beaucoup avancé dans la théorie des catégories, ni des topoi, mais je commence prochainement à aborder le livre de Jacob Lurie, voir:

https://meditationesdeprimaphilosophia.wordpress.com/2015/06/19/jacob-lurie-continuateur-de-grothendieck/

Ce blog n’est pas un blog de mathématiques, bien qu’il implique de suivre certains travaux de mathématique pure, mais il me semble de toutes façons que c’est une erreur de commencer par la théorie des categories (c’est à dire les 1-catégories), il vaudrait mieux à mon avis commencer directement par le cadre général des n-catégories et des ∞-catégories dont les ensembles qui sont les 0-catégories et les catégories ne sont que des cas particuliers.

https://en.m.wikipedia.org/wiki/Higher_category_theory

http://ncatlab.org/nlab/show/higher+category+theory

« Higher category theory is the generalization of category theory to a context where there are not only morphisms between objects, but generally k-morphisms between (k−1)-morphisms, for all k∈N. »

c’est donc l’etude des « catégories supérieures »: 2-catégories où il y a des 2-morphismes entre les 1-morphismes, etc…en faisant tendre n vers l’infini pour arriver aux ∞-catégories.

Mais cela c’est le schéma général, qui se heurte tout de suite à de grosses difficultés et le terme de « ∞-catégories » doit être précisé comme on le verra dans la suite.

http://ncatlab.org/nlab/show/%28n%2Cr%29-category

Une (n,r)-catégorie est telle que tous les k-morphismes:

http://ncatlab.org/nlab/show/k-morphism

sont triviaux (c’est à dire ils sont l’identité) pour k > n et ce sont des isomorphismes (c’est à dire des morphismes inversibles) pour k > r.

En fait pour que ceci fasse sens même pour n = -2 (auquel cas une n-catégorie est la valeur de vérité « Vrai ») on s’arrange pour que la définition implique que les Hom-catégories « de profondeur n+ 2) soient réduites à un point, qui peut se comprendre comme une (-2)-catégorie, voir cette page très intéressante sur l’idée de point, qui montre toute la profondeur philosophique de la théorie des n-catégories:

http://ncatlab.org/nlab/show/point

Dans le cadre ainsi défini des (n,r)-catégories on peut faire tendre n vers l’infini et l’on obtient alors les (∞,r)-catégories :

http://ncatlab.org/nlab/show/%28infinity%2Cn%29-category

parmi lesquelles deux cas particuliers importants:

– les (∞,0)-categories:

http://ncatlab.org/nlab/show/%28infinity%2C0%29-category

Ce sont les (∞,r)-catégories telles que tous les r-morphismes sont des isomorphismes pour r > 0
On les appelle donc les ∞-groupoides :

http://ncatlab.org/nlab/show/infinity-groupoid

puisqu’un groupoide (c’est à dire un 1-groupoide) est par définition une catégorie (c’est à dire une 1-catégorie) dont tous les morphismes (c’est à dire les 1-morphismes) sont inversibles (sont des isomorphismes): il s’agit de la généralisation ou de la catégorification de la notion de groupe : un groupe est un groupoide à un seul objet.

– les (∞,1)–categories:

http://ncatlab.org/nlab/show/%28infinity%2C1%29-category

Ce sont ces catégories que Jacob Lurie:

http://ncatlab.org/nlab/show/Jacob+Lurie

nomme des ∞-catégories dans son livre que nous allons commencer à étudier « Higher topos theory »:

http://ncatlab.org/nlab/show/higher+topos+theory

car j’en ai la conviction, comme je m’en suis expliqué récemment :

https://mathesisuniversalis.wordpress.com/2015/08/20/plan-de-travail-sur-les-topoi-et-les-n-topoi/

il est absolument nécessaire de suivre et de comprendre cette théorie pour édifier ce qui doit être la résurrection de la philosophie véritable, c’est à dire le platonisme dynamique, en mouvement, disparue avec Léon Brunschvicg le 18 janvier 1944:

Henosophia TOPOSOPHIA μαθεσις uni√ersalis τοποσοφια MATHESIS οντοποσοφια ενοσοφια

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