Archives mensuelles : août 2019

#GrothendieckTopos suite de l’exposé de Laurent Lafforgue sur les topos de Grothendieck

Autrement qu'être Mathesis uni∜ersalis Problema Universale Heidegger/Husserl être/conscience : plan vital-ontologique vs plan spirituel d'immanence CLAVIS UNIVERSALIS HENOSOPHIA PANSOPHIA ενοσοφια μαθεσις

La vidéo qui est ici :

https://sites.google.com/site/logiquecategorique/autres-seminaires/nantes/20160401-Lafforgue-Topos

s’arrête à 1h04 et n’inclut malheureusement pas  les parties II et III qui sont les plus importantes.

La vidéo complète est paraît il ici :

https://www.math.sciences.univ-nantes.fr/fr/video/2000

où je ne la trouve pas.

Dans ces conditions ne reste que l’article :

https://www.laurentlafforgue.org/math/OCLLNotesCourtes.pdf

qui est très résumé.

Les paragraphes 0 et  1  de la section I ont  été vus dans l’article précédent et sont contenus dans la vidéo disponible.

Le 2 sur les sous-Topos d’un topos est expliqué aussi dans la vidéo : étant donné un Topos E, un sous-Topos, c’est à dire un sous-objet dans la 2-catégorie Topos est une classe d’équivalence de morphismes dirigés vers E.

On a vu plus haut qu’un morphisme de topos est un couple de foncteurs adjoints : (F,G)

La condition (découverte par Grothendieck ) pour qu’on ait un plongement d’un sous-Topos dans un topos , un monomorphisme …

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#GrothendieckTopos exposé de Laurent Lafforgue sur le rôle important des topos de Grothendieck

Autrement qu'être Mathesis uni∜ersalis Problema Universale Heidegger/Husserl être/conscience : plan vital-ontologique vs plan spirituel d'immanence CLAVIS UNIVERSALIS HENOSOPHIA PANSOPHIA ενοσοφια μαθεσις

Le texte de l’exposé est ici :

https://www.laurentlafforgue.org/math/OCLLNotesCourtes.pdf

Le site Google sur l’exposé :

https://sites.google.com/site/logiquecategorique/autres-seminaires/nantes/20160401-Lafforgue-Topos

Les vues endossées sur ce blog, à propos de Grothendieck et de la théorie des topoi, ont été développées ici :

https://anthroposophiephilosophieetscience.wordpress.com/2019/08/10/laurent-lafforgue-les-topoi-de-grothendieck-et-le-role-quils-peuvent-jouer-en-mathematiques/

et ici :

https://anthroposophiephilosophieetscience.wordpress.com/2019/08/03/ce-sont-les-mathematiques-de-mclane-lawvere-et-grothendieck-apres-1945-qui-donnent-raison-a-wronski-un-siecle-plus-tot/

https://anthroposophiephilosophieetscience.wordpress.com/2019/07/23/la-vision-unificatrice-de-grothendieck-mathematiques-classiques-et-modernes/

Donc un Topos est une catégorie particulière équivalente à la catégorie des faisceaux sur un site.

un travail à déjà été mené ici sur les cours d’Olivia Caramello, il se trouve sous le hashtag #GrothendieckTopos , un article à propos de la notion de faisceau sur un site :

https://mathesisuniversalis.wordpress.com/2015/07/22/grothendiecktopos-4-faisceaux-sur-un-site-topos-de-grothendieck/

ainsi que sur la notion de topologie de Grothendieck :

https://renatuscartesiusmathesisuniversalis.wordpress.com/2015/07/01/grothendiecktopos-3-topologie-de-grothendieck-sur-une-categorie/

Voir aussi :

https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Site_(mathématiques)

Notons que la notion de catégorie entre dans la définition de topos comme de site : la théorie des topos ne pouvait donc émerger qu’après la découverte des catégories en 1945, disons entre 1942 et 1945 dans les travaux d’Eilenberg et Mac Lane…

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Extension de Kan ( « Categorical homotopy theory » d’Emily Riehl)

Autrement qu'être Mathesis uni∜ersalis Problema Universale Heidegger/Husserl être/conscience : plan vital-ontologique vs plan spirituel d'immanence CLAVIS UNIVERSALIS HENOSOPHIA PANSOPHIA ενοσοφια μαθεσις

L’extension de Kan est une construction universelle en théorie des catégories:

https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Extension_de_Kan

https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Propriété_universelle

mais c’est à partir du livre « Categorical homotopy theory » d’Emily Riehl :

http://www.math.jhu.edu/~eriehl/cathtpy.pdf

Qu’il est le mieux loisible de l’étudier.

Le point de vue de William Thurston est adopté, à savoir que le progrès en mathématique ne consiste pas uniquement à prouver de nouveaux théorèmes, mais aussi à favoriser la compréhension humaine des sujets étudiés. Dans la terminologie que j’ai adoptée ici, le progrès est progrès de la conscience vers le plan internel à l’aide des lunettes qui sont des mathèmes permettant de mieux « voir les Idées intelligibles »; les mathèmes peuvent être considérés comme les objets d’une catégorie:

https://anthroposophiephilosophieetscience.wordpress.com/2018/09/11/du-concept-au-matheme/

https://anthroposophiephilosophieetscience.wordpress.com/2018/09/19/nouvelle-terminologie-idees-mathemes-et-mythemes/

et prouver un théorème c’est simplement prouver qu’il existe un morphisme entre deux mathèmes.

Saunders Mac Lane, créateur de la théorie des catégories, affirme dans son livre fondateur « Categories for the  working…

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