Archives pour la catégorie Bible et nombres

#GrothendieckTopos Laurent Lafforgue : invariants d’un topos

Autrement qu'être Mathesis uni∜ersalis Problema Universale Heidegger/Husserl être/conscience : plan vital-ontologique vs plan spirituel d'immanence CLAVIS UNIVERSALIS HENOSOPHIA PANSOPHIA ενοσοφια μαθεσις

Suite de :

https://anthroposophiephilosophieetscience.wordpress.com/2019/08/16/grothendiecktopos-expose-de-laurent-lafforgue-sur-le-role-important-des-topos-de-grothendieck/

La version longue, complète de la note de Caramello et Lafforgue est ici :

http://preprints.ihes.fr/2016/M/M-16-26.pdf

Page 14 :

un topos est défini comme une catégorie « spéciale »,  équivalente à la catégorie des faisceaux d’ensembles E(C,J) sur un site (C,J), c’est à dire une catégorie C « petite » ( telle que la collection de ses objets forme un ensemble, non une classe) munie d’une topologie de Grothendieck J

https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Site_(mathématiques)

https://en.m.wikipedia.org/wiki/Grothendieck_topology

https://renatuscartesiusmathesisuniversalis.wordpress.com/2015/07/01/grothendiecktopos-3-topologie-de-grothendieck-sur-une-categorie/

Pour une petite catégorie C un préfaisceau d’ensembles sur C est un foncteur contravariant :

C_op —————> Ens ( Le topos des ensembles)

les préfaisceaux sur C forment une catégorie qui est un topos.

Deux exemples de topoi qui sont des catégories de préfaisceaux :

Set, comme topos des préfaisceaux sur la catégorie ayant un seul objet

Les ensembles simpliciaux

https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Ensemble_simplicial

comme catégorie des préfaisceaux sur la catégorie  simpliciale ∆

https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Catégorie_simpliciale

Les invariants d’un…

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Chapitre VIII du livre en préparation de Laurent Lafforgue : « symétries, invariants, quotients « 

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https://tcsc.lakecomoschool.org/files/2018/07/Lafforgue.pdf

Voir aussi

http://preprints.ihes.fr/2016/M/M-16-26.pdf

Dans le cadre des topos, la notion appropriée est celle d’équivalence de catégories

https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Équivalence_de_catégories

Un invariant d’un topos est tout objet, propriété, procédé de construction qu’il est possible de définir dans un topos et invariant par équivalence de catégories

il existe une infinité d’invariants des topos.

Un topos est défini comme une catégorie équivalente à  la catégorie des faisceaux d’ensembles sur un site.

un site est défini comme la donnée (C,J) d’une petite catégorie C munie d’une topologie de Grothendieck J

Un préfaisceau sur C est un foncteur contravariant :

C_op  ——————-> Ens catégorie des ensembles

Pour toute C la  catégorie E (C) des préfaisceaux est un topos.

Ens est un topos, comme catégorie des  préfaisceaux sur la catégorie triviale à un seul objet.

La catégorie des ensembles simpliciaux est un topos, comme catégorie des préfaisceaux sur la catégorie simpliciale.

https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Catégorie_simpliciale

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Une analyse poussée, image par image, des films de Kubrick, Antonioni, Lynch

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http://idyllopuspress.com/idyllopus/film/index.htm

Il existe aussi un chapitre « Other » consacré à des films remarquables comme « Picnic at hanging rock », « Stalker », « Nashville »

La rubrique consacrée à Kubrick comprend tous ses films, plus le documentaire « Day of the fight «

http://idyllopuspress.com/idyllopus/film/day_of_the_fight.htm

« Fear and desire », qui est selon moi le plus important ( mais ce site dépasse et de loin mon niveau amateur ), est analysé en profondeur , image par image :

http://idyllopuspress.com/idyllopus/film/fd_toc.htm

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Jean Vladimir Térémetz et Clémence Royer

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Si je ne donnais aucune place ici aux « voix  discordantes » des auteurs qui  défendent des thèses opposées à celles de ce blog, quelle serait la différence entre moi et les fanatiques islamistes que je pourfends ici ?

Jean Vladimir Térémetz est persuadé que la physique doit être « libérée des mathématiques »:

http://jean.teremetz.free.fr/2_CE-QU-EST-L-UNIVERS.pdf

J’avais déjà rédigé un court article sur lui :

https://anthroposophiephilosophieetscience.wordpress.com/2016/07/29/jean-vladimir-teremetz-veut-liberer-lhumanite-et-la-science-des-mathematiques/

«les mathématiques, ces abstraits outils, nous sont utiles pour contrer, circonvenir et manipuler cet univers le moins péniblement possible; pour comprendre, pour voir, ce qu’est réellement, con- crètement ce dernier, qui n’est en rien abstrait, ils ne nous sont pas inutiles, ils nous sont nuisibles, faisant de nous des aveugles.”

ce qu’il rejette, c’est la physique mathématique, c’est à dire  selon Brunschvicg le déplacement dans l’axe de la vie religieuse, de la matière et de la vie à l’esprit :

»Le fait décisif de l’histoire…

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Sartre : « l’homme est une passion inutile »

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c’est la fin de « L’être et le néant »:

» Chaque réalité humaine est à la fois projet direct de métamorphoser son propre pour-soi en en-soi pour-soi et projet d’appropriation du monde comme totalité d’être en-soi sous les espèces d’une qualité fondamentale. Toute réalité humaine est une passion en ce qu’elle projette de se perdre pour fonder l’être et pour constituer de même coup l’en-soi qui échappe à la contingence en étant son propre fondement, ens causa sui que les religions nomment Dieu. Ainsi la passion de l’homme est-elle inverse de celle du Christ, car l’homme se perd en tant qu’homme pour que Dieu naisse. Mais l’idée de Dieu est contradictoire et nous nous perdons en vain : l’homme est une passion inutile »

voir :

http://lenuki69.over-blog.fr/article-l-homme-est-une-passion-inutile-sartre-114973364.html

L’Homme est une passion inutile (Sartre)

La dualité entre en- soi et pour- soi est à la base de « L’être et…

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#GrothendieckTopos suite de l’exposé de Laurent Lafforgue sur les topos de Grothendieck

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La vidéo qui est ici :

https://sites.google.com/site/logiquecategorique/autres-seminaires/nantes/20160401-Lafforgue-Topos

s’arrête à 1h04 et n’inclut malheureusement pas  les parties II et III qui sont les plus importantes.

La vidéo complète est paraît il ici :

https://www.math.sciences.univ-nantes.fr/fr/video/2000

où je ne la trouve pas.

Dans ces conditions ne reste que l’article :

https://www.laurentlafforgue.org/math/OCLLNotesCourtes.pdf

qui est très résumé.

Les paragraphes 0 et  1  de la section I ont  été vus dans l’article précédent et sont contenus dans la vidéo disponible.

Le 2 sur les sous-Topos d’un topos est expliqué aussi dans la vidéo : étant donné un Topos E, un sous-Topos, c’est à dire un sous-objet dans la 2-catégorie Topos est une classe d’équivalence de morphismes dirigés vers E.

On a vu plus haut qu’un morphisme de topos est un couple de foncteurs adjoints : (F,G)

La condition (découverte par Grothendieck ) pour qu’on ait un plongement d’un sous-Topos dans un topos , un monomorphisme …

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#GrothendieckTopos exposé de Laurent Lafforgue sur le rôle important des topos de Grothendieck

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Le texte de l’exposé est ici :

https://www.laurentlafforgue.org/math/OCLLNotesCourtes.pdf

Le site Google sur l’exposé :

https://sites.google.com/site/logiquecategorique/autres-seminaires/nantes/20160401-Lafforgue-Topos

Les vues endossées sur ce blog, à propos de Grothendieck et de la théorie des topoi, ont été développées ici :

https://anthroposophiephilosophieetscience.wordpress.com/2019/08/10/laurent-lafforgue-les-topoi-de-grothendieck-et-le-role-quils-peuvent-jouer-en-mathematiques/

et ici :

https://anthroposophiephilosophieetscience.wordpress.com/2019/08/03/ce-sont-les-mathematiques-de-mclane-lawvere-et-grothendieck-apres-1945-qui-donnent-raison-a-wronski-un-siecle-plus-tot/

https://anthroposophiephilosophieetscience.wordpress.com/2019/07/23/la-vision-unificatrice-de-grothendieck-mathematiques-classiques-et-modernes/

Donc un Topos est une catégorie particulière équivalente à la catégorie des faisceaux sur un site.

un travail à déjà été mené ici sur les cours d’Olivia Caramello, il se trouve sous le hashtag #GrothendieckTopos , un article à propos de la notion de faisceau sur un site :

https://mathesisuniversalis.wordpress.com/2015/07/22/grothendiecktopos-4-faisceaux-sur-un-site-topos-de-grothendieck/

ainsi que sur la notion de topologie de Grothendieck :

https://renatuscartesiusmathesisuniversalis.wordpress.com/2015/07/01/grothendiecktopos-3-topologie-de-grothendieck-sur-une-categorie/

Voir aussi :

https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Site_(mathématiques)

Notons que la notion de catégorie entre dans la définition de topos comme de site : la théorie des topos ne pouvait donc émerger qu’après la découverte des catégories en 1945, disons entre 1942 et 1945 dans les travaux d’Eilenberg et Mac Lane…

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