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Plan de travail sur les topoi et les n-topoi

Je me suis déjà expliqué sur le programme à suivre, notamment ici:

https://mathesisuniversalis.wordpress.com/2015/06/24/morphismes-geometriques-et-2-categorie-topos-des-topoi-comme-cadre-general-de-nos-travaux/

Ce projet de « parcours » n’est rien d’autre que l’axe horizontal de la « loi de création » d’Hoené Wronski (1776-1853) entre l’élément-être EE et l’élément-savoir ES, mais totalement réintégré dans la mathematique, à savoir le SEUL domaine théorique où l’on puisse réellement vérifier, ou réfuter, en démontrant rigoureusement nos propres affirmations.
J’ai aussi expliqué, à propos du travail extraordinaire de David Ellerman « Concrete universels in category theory » que nous nous situons ici complètement sur le plan de l’Idee, fidèles à l’obligation de la physique de « dissoudre » ses objets en entités mathématiques. Les êtres, pour nous, ce ne sont plus les arbres, les maisons, les chaises : ce sont les ensembles, et l’ontologie c’est la théorie des ensembles, qui étudie le topos paradigmatique des ensembles, qui est abordable par la théorie des topoi élémentaires, c’est à dire comme catégorie qui a toutes les limites finies, qui est cartésienne fermée, et qui a un classificateur de sous-objets ( qui dans le cas du topos Ens est l’ensemble {0, 1} des valeurs de vérité, c’est ce que Badiou appelle le transcendantal Ω dans un topos quelconque).
Une définition alternative des topoi élémentaires est : ce sont les catégories qui ont toutes les limites finies et aussi les « power objects », qui dans le cas des ensembles sont les ensembles des parties P(X) d’un ensemble X.
Sur tout cela voir la page du Nlab:

http://ncatlab.org/nlab/show/topos
mais nous reviendrons sur toute ces idées non encore abordées (limites, classificateur de sous-objets, etc..)
L’autre façon d’aborder les topoi, c’est la théorie des topoi de Grothendieck, qui revient au même, mais avec des liens avec la topologie notamment.
Un topos de Grothendieck est la généralisation des faisceaux sur un espace topologique X :

Sh(X)

Si l’on prend pour X l’espace réduit à un point {*} on obtient le topos des ensembles:

Ens = Sh(*)

Le « trajet » dans le « monde des idées » que nous visons part donc du topos Ens = Sh(*) comme topos ontologique, Idée de la multiplicité pure sans relations entre les objets, et donc de l’ignorance : il n’est donc pas étonnant que la physique « classique », élaborée il y a quatre siècles, corresponde selon les théories récentes de la « physique des topoi » (« topos physics ») à ce topos des ensembles qui est en quelque sorte son cadre théorique.
Le trajet peut aussi être considéré comme celui de l’unification progressive, c’est à dire de l’intelligibilité et du Savoir croissant: de l’élément-être EE qui est dans notre schéma, ou correspond au topos Ens, en s’élevant progressivement vers ES élément-savoir selon l’échelle des topoi ayant « plus de structure » et celle des 2-topoi, n-topoi : la « higher topos theory ».
Cela est d’autant plus exaltant que ce domaine est en friches, il est en quelque sorte le « 

Far West

 » des mathématiciens-philosophes, exploré seulement par quelques pionniers solitaires comme Jacob Lurie:

https://meditationesdeprimaphilosophia.wordpress.com/2015/06/19/jacob-lurie-continuateur-de-grothendieck/

Mais même l’énorme livre de Jacob Lurie, près de mille pages, « Higher topos theory » n’aborde qu’une partie très restreinte de l’immense domaine : celui des

(∞,1)-topoi

Voir:

http://ncatlab.org/nlab/show/%28infinity%2C1%29-topos+theory

et

https://mathesisuniversalis.wordpress.com/2015/07/26/lhumanite-est-dans-les-tenebres-sur-la-theorie-des-higher-categories/

La première marche que nous devons gravir après les topoi est celle des 2-topoi sur laquelle des travaux existent.

Or si l’exemple paradigmatique d’un topos est la catégorie Ens des ensembles, l’exemple paradigmatique d’un 2-topos est la 2-catégorie CAt des catégories, foncteurs et transformations naturelles.

http://ncatlab.org/nlab/show/Cat

Or deux théories entièrement categoriques, largement dûes à William Lawvere, existent sur la théorie et la catégorie des ensembles et sur la 2-catégorie des catégories:

ETCS (« elementary theory of the category of Sets » voir:

http://ncatlab.org/nlab/show/ETCS

et ETCC (« elementary theory of the category of categories »)

voir:

http://ncatlab.org/nlab/show/ETCC

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2-catégories vues comme « doctrines »

Nous avons déjà vu l’importance des 2-catégories comme cadre théorique de l’adjonction:

https://mathesisuniversalis.wordpress.com/2015/07/17/adjonction-3-dans-le-cadre-des-2-categories/

Elles peuvent être regardées comme des ensembles structurés, des catégories, de théories, appelées « doctrines »:

https://en.m.wikipedia.org/wiki/2-category#Doctrines

Les objets sont vus commes les théories, les 1-morphismes comme modèles des théories et les 2-morphismes comme morphisme sur entre les modèles.
La page du Nlab est beaucoup plus détaillée là dessus:

http://ncatlab.org/nlab/show/doctrine

On lui adjoindra cet article du blog n-category cafe, portant à la fois sur la physique, la mathématique et la philosophie:

https://golem.ph.utexas.edu/category/2006/09/doctrines.html

en suivant les dialogues entre ces penseurs à chaque article : dans ce blog les réponses aux articles sont souvent aussi intéressantes, sinon plus.

D’ailleurs je me demande pourquoi je me fatigue à faire mes blogs, alors que tout est déjà là dans « n-category cafe », et que je ne risque pas d’atteindre un jour leur niveau en maths et en physique.

La réponse à cette question en forme d’aporie que je me pose à moi même n’est pas:

« Parce qu’il faut bien quelque chose quand on n’a plus de goût pour rien de ce qui intéresse en général les humains »

mais

« Parce que mon point de vue est différent, quoique difficile à préciser : la « pensée selon l’un », thème le plus crucial de la pensée de Brunschvicg, est quelque chose de tellement important qu’elle efface tout le reste, sciences comprises, et vaut bien qu’on lui consacre le restant de sa vie, au risque de ne déboucher sur rien (ce qui est de toutes façons l’aboutissement final de ceux qui ne vivent que pour vivre). »

Le paragraphe important dans la page Nlab est « Idea » et le mot important, en hyperlien qui mène à une autre page, est : « categorification »:

http://ncatlab.org/nlab/show/vertical+categorification

En gros cela consiste à monter d’un cran dans l’arbre des n-catégories : ainsi la categorification de l’idée « ensemble » est la catégorie, la categorification du groupe est le groupoide, celle de l’idée de catégorie est l’idée de 2-catégorie, etc..

Les doctrines sont donc des 2-théories, catégorification de l’idée de théorie.

Informelle ment, le modèle d’une théorie est une structure mathématique où cette théorie fonctionne : ainsi un groupe est un modèle de la théorie des groupes.

Mais cette conception qui consiste à considérer une 2-catégorie comme une doctrine, dont les théories(qui sont des catégories) sont les objets et les 1-morphismes (qui sont des foncteurs) sont des « modèles »permet de donner un sens rigoureux, alternatif à la logique mathématique (profondément revisité par les travaux de Lawvere entre autres), à ces notions.

Un foncteur:
F : C —————> D

est un modèle de C (vue comme théorie) dans D.

John Baez donne plusieurs exemples dans le lien ci dessus du n-category cafe, le plus simple étant la doctrine des théories algébriques, dont les objets sont les catégories munies des produits finis (ce qui veut dire qu’on peut y définir le produit d’un nombre fini d’objets), les morphisme sur sont les foncteurs préservant les produits finis, et les 2-morphismes sont les transformations naturelles.

Cette doctrine qu’il appelle FinProdCat « encode » ce que l’on appelle en logique « algèbre universelle », dont Baez donne un lien de cours:

http://www.math.uwaterloo.ca/~snburris/htdocs/ualg.html

Adjonction 3: dans le cadre des 2-catégories

La définition particulièrement belle et symétrique de l’adjonction dans une 2-catégorie est la suivante:

Definition. Let K be a (strict) 2-category. An adjunction in K is a quadruple (f,g,η,ϵ) where f:C→D and g:D→C are 1-cells, η:idC⇒gf and ϵ:fg⇒idD are 2-cells, these satisfying the triangle identities:
ϵf∙fηgϵ∙ηg=idf=idg

Elle est donnée ici en réponse à une question:

http://math.stackexchange.com/questions/327489/when-two-morphisms-are-dual-to-each-other-in-a-2-category

(Je conseille aux personnes intéressées ce site mathstackexchange, car on y voit l’activité en temps réel de la communauté )

Mais qu’est ce qu’une 2-catégorie, stricte ou non ?

L’idée générale semble simple:

http://ncatlab.org/nlab/show/2-category

Dans une catégorie il y a les objets (niveau zéro, « 0-cells ») puis les morphismes, les flèches entre les objets : niveau 1, 1-morphismes, « 1-cells »
Il suffit d’ajouter un niveau 2, celui des 2-morphismes, ou en anglais « 2-cells » , qui sont des flèches entre les 1-morphismes, pour avoir une 2-catégorie.
Et ainsi de suite : on ajoute des 3-morphismes comme flèches entre les 2-morphismes, cela donne les 3-catégories , etc…jusqu’aux n-catégories, et cela continue à l’infini..
Comme tout serait facile si c’était aussi simple!!
Cette idée donne une vue d’ensemble juste, mais quand on veut composer les 2-morphismes entre eux, ce qui est une opération fondamentale, on a deux sortes de composition:
– horizontale ou « le long des objets », voir:

http://ncatlab.org/nlab/show/horizontal+composition

– verticale ou « le long des 1-morphismes », voir:

http://ncatlab.org/nlab/show/vertical+composition

La composition verticale est plus aisée à comprendre, c’est simplement l’idée intuitive de composition entre deux 1-morphismes qui relient deux objets fixés, tandis que dans la composition horizontale les deux deux 2-morphismes à composer relient des couples de 1-morphismes entre deux couples d’objets différents (avec un en commun, ce qui donne trois objets A, B et C voir page ci dessus)
Le mieux est de prendre un exemple, celui de la 2-catégorie

Cat

des catégories: les objets sont les catégories, les 1-morphismes sont les foncteurs reliant les catégories, et les 2-morphismes sont les transformations naturelles reliant les foncteurs.
Voir la page:

http://ncatlab.org/nlab/show/Cat

Laissons de côté pour l’instant les développements théoriques sur les petites et les larges catégories : retenons que les objets de Cat sont les petites catégories, dont les objets forment un ensemble (et non une classe, j’y reviendrai) et les flèches forment aussi un ensemble, sinon on rencontrerait des paradoxes comme celui de Russell qui montre que la collection de « tous les ensembles » n’est pas un ensemble (c’est une classe)

La composition verticale entre deux transformations naturelles est facile à comprendre, rappelons nous qu’une transformation naturelle entre deux foncteurs reliant deux catégories fixées est un ensemble de morphismes (appelées composantes) dans le second objet (la catégorie cible) indexé par les objets de la première catégorie, la catégorie source.
Voir::

https://mathesisuniversalis2.wordpress.com/2015/07/07/transformations-naturelles/

Comme dans la transformation verticale les deux catégories source et cible restent fixées il suffit de composer les composantes, qui sont des 1-morphismes dans la même catégorie et indexées par la même famille d’indices, pour obtenir les composantes de la transformation naturelle qui sera la composition verticale des deux transformations naturelles.
Par contre dans le cas de la composition horizontale, on peut encore composer deux transformations naturelles (2-morphismes) et cela s’appelle le produit de Godement, voir:

http://ncatlab.org/nlab/show/Godement+product

Un peu plus compliqué…si vous ne saisissez pas pour l’instant, ce n’est pas grave, retenez simplement les deux modes de composition des 2-morphismes, et aussi que

Cat est un 2-topos et une 2-catégorie stricte

Une 2-catégorie est dite stricte quand la composition des 2-morphismes est strictement associative, c’est à dire donnant lieu à des égalités strictes:

A x (b x c) = (a c b) x c

Dans une 2-catégorie plus générale, non stricte, on n’a plus forcément égalité stricte, mais les deux résultats de compositions de 2-morphismes comme ci dessus doivent simplement reliés par un 2-morphisme qui soit un isomorphisme appelé associateur:

http://ncatlab.org/nlab/show/associator

Morphismes géométriques et 2-catégorie Topos des topoi comme cadre général de nos travaux

Répétons donc le schéma général auquel nous sommes parvenus hier, voir:

https://mathesisuniversalis.wordpress.com/2015/06/23/retour-a-ou-detour-par-la-triade-des-elements-primitifs-de-wronski/

Rappelons que nous y arrivons en tentant d’intégrer ce que le mathématicien-philosophe Hoené Wronski (1776-1853) appelle « élément neutre » comme identité primitive du savoir et de l’être.
Le développement progressif du savoir mathématique et scientifique est ce que nous appelons aussi unification progressive des connaissances humaines véritables (rationnelles, vérifiables ou réfutables) , l’être est ce que Brunschvicg et Marie Anne Cochet appellent la « forme d’exteriorité ». L’élément neutre est alors ce que la métaphysique traditionnelle nomme l’Un. Mais nous nous refusons, pour des raisons tant de fois évoquées, à envisager l’Un transcendant ou « séparé » qui serait l’Un « séparé » de l’activité de connaissance et d’unification humaine; cet « Un séparé » est celui du « Shema Israël » dans la Torah.
Nous voulons donc examiner cet « Un », ou élément-neutre, sans quitter le plan mathématique de l’idée pour celui de la mystique ou de la croyance, et nous arrivons ainsi au schéma fonctoriel:

U : E —————-> S

Où E et S sont deux catégories, qui seront généralement des topoi, à cause des bonnes propriétés dont jouissent ces types de catégories, et où U est un foncteur.

E, qui désigne l’élément-être, sera en général le topos des Ensembles.

Nous savons alors qu’un foncteur contravariant :

S ——————> E

est appelé en mathématiques un prefaisceau, et qu’avec quelques conditions il est un faisceau.

Les préfaisceaux sur S c’est à dire tous les foncteurs de cette sorte forment un topos, et c’est aussi le cas des faisceaux (les noms anglais sont « presheaves » et « sheaves ») en prenant pour morphisme sur entre deux foncteurs les « transformations naturelles » (je reviendrai sur ces notions de base dans des articles spécialement dédiés).

Voir là dessus les pages du nLab:

Presheaf in NLAB

ou en français la page Wikipedia qui commence par un cas spécial de préfaisceau, défini sur un espace topologique:

https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Préfaisceau

(Si vous n’êtes pas familier de ces notions, pas la peine de tout lire en détail, nous y reviendrons souvent, contentez vous de savoir que les préfaisceaux en tant que foncteurs rentrent dans notre schéma).

Je rappelle ici que David Rabouin, dans son article sur le cadre mathématique de « Logiques des mondes » de Badiou, termine sa conclusion en insistant sur l’importance cruciale de ces objets : les faisceaux. Voir là dessus:

https://mathesisuniversalis2.wordpress.com/2015/06/10/objet-relation-et-transcendantal-le-formalisme-de-logiques-des-mondes/

Mais complexifions un peu notre schéma général : pour des considérations de symétrie nous pouvons examiner le cas de deux foncteurs en sens inverse entre les deux topoi E (qui est le topos des Ensembles) et S (qui est un topos avec plus de structure, qui pourra par exemple être un topos de faisceaux).

Si en plus nous exigeons que ces deux foncteurs soient en situation d’adjonction, ce qui est normal car l’adjonction de foncteurs est assurément la notion la plus importante de la théorie des catégories.

Nous obtenons alors la notion de morphisme géométrique, voir:

http://ncatlab.org/nlab/show/geometric+morphism

à laquelle j’ajoute la page sur les morphisme sur géométriques locaux:

http://ncatlab.org/nlab/show/local+geometric+morphism

mais c’est juste pour en garder trace, je reviendrai sur tout cela, et j’expliquerai soigneusement toutes les procédures que je mettrai en oeuvre, pas besoin de lire tout cela dès aujourd’hui : encore une fois ce n’est pas un blog mathématique mais philosophique-religieux, et ici pas de prières ni autres bondieuseries, nous utilisons la mathématique pour progresser à notre rythme vers le Bien, qui commence par l’honneteté et la rigueur de la pensée.

« Tous les topoi » accompagnés des morphismes géométriques entre eux forment la catégorie Topos dont la page est ici sur le nLab:

La 2-catégorie Topos

C’est plus qu’une catégorie : une 2-categorie.

Les objets sont « tous les topoi », les flèches (ou morphismes) sont les morphismes géométriques, et les 2-morphismes, flèches entre les morphismes géométriques, sont les « transformations géométriques »:

http://ncatlab.org/nlab/show/geometric+transformation

Tout cela nous mène aussi vers la « Higher topos theory » de Jacob Lurie, le nouveau Grothendieck, voir:

Jacob Lurie continuateur de Grothendieck

et nous ne serons pas longs à gravir les premières pentes de cette Montagne sacrée de près de mille pages.