Archives du mot-clé 2-topos

Plan de travail sur les topoi et les n-topoi

Je me suis déjà expliqué sur le programme à suivre, notamment ici:

https://mathesisuniversalis.wordpress.com/2015/06/24/morphismes-geometriques-et-2-categorie-topos-des-topoi-comme-cadre-general-de-nos-travaux/

Ce projet de « parcours » n’est rien d’autre que l’axe horizontal de la « loi de création » d’Hoené Wronski (1776-1853) entre l’élément-être EE et l’élément-savoir ES, mais totalement réintégré dans la mathematique, à savoir le SEUL domaine théorique où l’on puisse réellement vérifier, ou réfuter, en démontrant rigoureusement nos propres affirmations.
J’ai aussi expliqué, à propos du travail extraordinaire de David Ellerman « Concrete universels in category theory » que nous nous situons ici complètement sur le plan de l’Idee, fidèles à l’obligation de la physique de « dissoudre » ses objets en entités mathématiques. Les êtres, pour nous, ce ne sont plus les arbres, les maisons, les chaises : ce sont les ensembles, et l’ontologie c’est la théorie des ensembles, qui étudie le topos paradigmatique des ensembles, qui est abordable par la théorie des topoi élémentaires, c’est à dire comme catégorie qui a toutes les limites finies, qui est cartésienne fermée, et qui a un classificateur de sous-objets ( qui dans le cas du topos Ens est l’ensemble {0, 1} des valeurs de vérité, c’est ce que Badiou appelle le transcendantal Ω dans un topos quelconque).
Une définition alternative des topoi élémentaires est : ce sont les catégories qui ont toutes les limites finies et aussi les « power objects », qui dans le cas des ensembles sont les ensembles des parties P(X) d’un ensemble X.
Sur tout cela voir la page du Nlab:

http://ncatlab.org/nlab/show/topos
mais nous reviendrons sur toute ces idées non encore abordées (limites, classificateur de sous-objets, etc..)
L’autre façon d’aborder les topoi, c’est la théorie des topoi de Grothendieck, qui revient au même, mais avec des liens avec la topologie notamment.
Un topos de Grothendieck est la généralisation des faisceaux sur un espace topologique X :

Sh(X)

Si l’on prend pour X l’espace réduit à un point {*} on obtient le topos des ensembles:

Ens = Sh(*)

Le « trajet » dans le « monde des idées » que nous visons part donc du topos Ens = Sh(*) comme topos ontologique, Idée de la multiplicité pure sans relations entre les objets, et donc de l’ignorance : il n’est donc pas étonnant que la physique « classique », élaborée il y a quatre siècles, corresponde selon les théories récentes de la « physique des topoi » (« topos physics ») à ce topos des ensembles qui est en quelque sorte son cadre théorique.
Le trajet peut aussi être considéré comme celui de l’unification progressive, c’est à dire de l’intelligibilité et du Savoir croissant: de l’élément-être EE qui est dans notre schéma, ou correspond au topos Ens, en s’élevant progressivement vers ES élément-savoir selon l’échelle des topoi ayant « plus de structure » et celle des 2-topoi, n-topoi : la « higher topos theory ».
Cela est d’autant plus exaltant que ce domaine est en friches, il est en quelque sorte le « 

Far West

 » des mathématiciens-philosophes, exploré seulement par quelques pionniers solitaires comme Jacob Lurie:

https://meditationesdeprimaphilosophia.wordpress.com/2015/06/19/jacob-lurie-continuateur-de-grothendieck/

Mais même l’énorme livre de Jacob Lurie, près de mille pages, « Higher topos theory » n’aborde qu’une partie très restreinte de l’immense domaine : celui des

(∞,1)-topoi

Voir:

http://ncatlab.org/nlab/show/%28infinity%2C1%29-topos+theory

et

https://mathesisuniversalis.wordpress.com/2015/07/26/lhumanite-est-dans-les-tenebres-sur-la-theorie-des-higher-categories/

La première marche que nous devons gravir après les topoi est celle des 2-topoi sur laquelle des travaux existent.

Or si l’exemple paradigmatique d’un topos est la catégorie Ens des ensembles, l’exemple paradigmatique d’un 2-topos est la 2-catégorie CAt des catégories, foncteurs et transformations naturelles.

http://ncatlab.org/nlab/show/Cat

Or deux théories entièrement categoriques, largement dûes à William Lawvere, existent sur la théorie et la catégorie des ensembles et sur la 2-catégorie des catégories:

ETCS (« elementary theory of the category of Sets » voir:

http://ncatlab.org/nlab/show/ETCS

et ETCC (« elementary theory of the category of categories »)

voir:

http://ncatlab.org/nlab/show/ETCC

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The category of categories as a model for the platonic world of forms (David Edwards)

J’avais déjà donné un lien pour cet article datant de 1968 et si proche des thèmes de ce blog, mais l’adresse a changé, elle est désormais:

http://alpha.math.uga.edu/%7Edavide/The_Category_of_Categories_as_a_Model_for_the_Platonic_World_of_Forms.pdf

Il affirme page 3 que :

« Le travail de William Lawvere est l’union du formalisme de Descartes et de la conceptualisation de Platon »

Lawvere réussit à donner une série d’axiomes qui caractérise de manière univoque la catégorie des categories, qui représente le versant mathématique du monde platonicien des formes.
Il réussit là où Platon avait échoué à dépasser les simples concepts parce qu’il n’avait pas les mathématiques universelles dont il avait besoin. Même Leibniz et Whitehead ne les avaient pas.

Nous devons donc retenir comme cadre pour nos recherches deux 2-categories :

CAT la 2-categorie des catégories, foncteurs et transformations naturelles

Topos la 2-categorie des topoi, morphisme sur géométriques et transformations géométriques.

Voir:

https://mathesisuniversalis.wordpress.com/2015/06/24/morphismes-geometriques-et-2-categorie-topos-des-topoi-comme-cadre-general-de-nos-travaux/

Rappelons aussi que CAT est l’exemple archétypique d’un 2-topos, de même que Ens est l’exemple archétypique d’un topos:

https://golem.ph.utexas.edu/category/2008/01/2toposes.html

« MathML-enabled post (click for more details).
A 1-topos is a kind of 1-category. The 1-category of sets is a paradigmatic example, in which 1→2 (the set of truth values) is the classifier.

A 2-topos is a kind of 2-category. The 2-category of categories is a paradigmatic example, in which Pointed Set → Set is the classifier.

Hmmm, so what’s a 0-topos? It ought to be a kind of 0-category or set. The set of truth values should be a paradigmatic example. What kind of set should it be?

If in Set we have A→2A, and in Cat we have C→SetCop, is there a 0-Yoneda?

If it is possible to extract an internal language from a topos, what results from a similar process applied to a 2-topos? Do we find that it supports a higher order categorified logic? »

La page de David Edwards contient de nombreux travaux intéressants:

http://alpha.math.uga.edu/~davide/

L’humanité est dans les ténèbres …sur la théorie des « higher categories »

Vous rappelez vous cet article ?

https://mathesisuniversalis.wordpress.com/2015/06/24/morphismes-geometriques-et-2-categorie-topos-des-topoi-comme-cadre-general-de-nos-travaux/

Si vous suivez les travaux entrepris ici, mettez le dans un coin de votre tête car il définit le cadre de ces travaux (enfin pour l’instant) et je cherche sans arrêt à glaner des connaissances sur cette 2-categorie >Topos

Or je viens de tomber sur cette question dans « Mathoverflow », et surtout le dialogue qui s’ensuit:

http://mathoverflow.net/questions/5457/omega-topos-theory

question posée par quelqu’un qui lit le livre de près de mille pages de Jacob Lurie, donc nettement en avance sur nous.

Voici trois réponses typiques qu’il provoque et qui semblent doucher son bel enthousiasme:

« The short answer is no. Even 2-toposes are poorly understood — we don’t know what the right definition is. For higher dimensions, including ∞, we definitely don’t have the answers.
…..

the ignorance of humanity on higher categories should never be underestimated. The answer to almost any intelligent question is « no one knows precisely (though many people have made guesses) »…..

…One should keep in mind that Jacob Lurie’s book « only » (if I may use this word) discusses the (oo,1)-version of Grothendieck toposes/category of sheaves: the (oo,1)-toposes in Jacob Lurie’s book are (oo,1)-categories of (oo,1)-sheaves/of oo-stacks….

….

Similarly, while a general theory of n-toposes for higher n is largely missing, there is a bit more known about (oo,n)-sheaves, i.e. of oo-stacks which are presheaves with values not just in oo-groupoids but in (oo,n)-categories.
Un lien qui est tout à fait exaltant, pas du tout désespérant..
Car nos connaissances si pauvres en ce domaine sont appelées à augmenter, et j’ai la conviction (motivée par mon article que j’ai cité au début) que c’est précisément « là que cela se passe » pour le changement de niveau de l’humanité.
Certes trouver des planètes similaires à notre Terre à plus de mille années-lumière c’est passionnant, comme envoyer un robot sur une comète..

Mais qu’est ce que cela représente face à ces recherches sur la « higher topos theory » où se trouve, j’en ai la conviction, la clef de cette initiation universelle qu’est la « pensée selon l’un »?

Le point de départ est si simple : il consiste à mettre l’accent sur les flèches, foncteurs, transformations, plutôt que sur les points, éléments, objets, substances..
Il y a aussi un autre passage important dans ce lien:

« 

Why shouldn’t the primordial example of a 2-topos be Topos (the 2-category of toposes, logical morphisms, and natural transformations »

Oui mais la nôtre est celle qui a comme 1-morphismes les morphismes géométriques, non les « logical morphismes »

Or ce sont des morphismes tout à fait différents et il existe bien une 2-categorie des topos avec les morphismes logiques comme 1-morphismes, qui s’appelle LogTopos, ou Log, cet autre lien de Mathoverflow en parle:

http://mathoverflow.net/questions/70816/is-the-category-of-toposes-cocomplete

et voir aussi celui ci sur la 2-catégorie Topos:

http://mathoverflow.net/questions/59862/does-the-2-category-of-toposes-admit-pseudo-colimits

Adjonction 3: dans le cadre des 2-catégories

La définition particulièrement belle et symétrique de l’adjonction dans une 2-catégorie est la suivante:

Definition. Let K be a (strict) 2-category. An adjunction in K is a quadruple (f,g,η,ϵ) where f:C→D and g:D→C are 1-cells, η:idC⇒gf and ϵ:fg⇒idD are 2-cells, these satisfying the triangle identities:
ϵf∙fηgϵ∙ηg=idf=idg

Elle est donnée ici en réponse à une question:

http://math.stackexchange.com/questions/327489/when-two-morphisms-are-dual-to-each-other-in-a-2-category

(Je conseille aux personnes intéressées ce site mathstackexchange, car on y voit l’activité en temps réel de la communauté )

Mais qu’est ce qu’une 2-catégorie, stricte ou non ?

L’idée générale semble simple:

http://ncatlab.org/nlab/show/2-category

Dans une catégorie il y a les objets (niveau zéro, « 0-cells ») puis les morphismes, les flèches entre les objets : niveau 1, 1-morphismes, « 1-cells »
Il suffit d’ajouter un niveau 2, celui des 2-morphismes, ou en anglais « 2-cells » , qui sont des flèches entre les 1-morphismes, pour avoir une 2-catégorie.
Et ainsi de suite : on ajoute des 3-morphismes comme flèches entre les 2-morphismes, cela donne les 3-catégories , etc…jusqu’aux n-catégories, et cela continue à l’infini..
Comme tout serait facile si c’était aussi simple!!
Cette idée donne une vue d’ensemble juste, mais quand on veut composer les 2-morphismes entre eux, ce qui est une opération fondamentale, on a deux sortes de composition:
– horizontale ou « le long des objets », voir:

http://ncatlab.org/nlab/show/horizontal+composition

– verticale ou « le long des 1-morphismes », voir:

http://ncatlab.org/nlab/show/vertical+composition

La composition verticale est plus aisée à comprendre, c’est simplement l’idée intuitive de composition entre deux 1-morphismes qui relient deux objets fixés, tandis que dans la composition horizontale les deux deux 2-morphismes à composer relient des couples de 1-morphismes entre deux couples d’objets différents (avec un en commun, ce qui donne trois objets A, B et C voir page ci dessus)
Le mieux est de prendre un exemple, celui de la 2-catégorie

Cat

des catégories: les objets sont les catégories, les 1-morphismes sont les foncteurs reliant les catégories, et les 2-morphismes sont les transformations naturelles reliant les foncteurs.
Voir la page:

http://ncatlab.org/nlab/show/Cat

Laissons de côté pour l’instant les développements théoriques sur les petites et les larges catégories : retenons que les objets de Cat sont les petites catégories, dont les objets forment un ensemble (et non une classe, j’y reviendrai) et les flèches forment aussi un ensemble, sinon on rencontrerait des paradoxes comme celui de Russell qui montre que la collection de « tous les ensembles » n’est pas un ensemble (c’est une classe)

La composition verticale entre deux transformations naturelles est facile à comprendre, rappelons nous qu’une transformation naturelle entre deux foncteurs reliant deux catégories fixées est un ensemble de morphismes (appelées composantes) dans le second objet (la catégorie cible) indexé par les objets de la première catégorie, la catégorie source.
Voir::

https://mathesisuniversalis2.wordpress.com/2015/07/07/transformations-naturelles/

Comme dans la transformation verticale les deux catégories source et cible restent fixées il suffit de composer les composantes, qui sont des 1-morphismes dans la même catégorie et indexées par la même famille d’indices, pour obtenir les composantes de la transformation naturelle qui sera la composition verticale des deux transformations naturelles.
Par contre dans le cas de la composition horizontale, on peut encore composer deux transformations naturelles (2-morphismes) et cela s’appelle le produit de Godement, voir:

http://ncatlab.org/nlab/show/Godement+product

Un peu plus compliqué…si vous ne saisissez pas pour l’instant, ce n’est pas grave, retenez simplement les deux modes de composition des 2-morphismes, et aussi que

Cat est un 2-topos et une 2-catégorie stricte

Une 2-catégorie est dite stricte quand la composition des 2-morphismes est strictement associative, c’est à dire donnant lieu à des égalités strictes:

A x (b x c) = (a c b) x c

Dans une 2-catégorie plus générale, non stricte, on n’a plus forcément égalité stricte, mais les deux résultats de compositions de 2-morphismes comme ci dessus doivent simplement reliés par un 2-morphisme qui soit un isomorphisme appelé associateur:

http://ncatlab.org/nlab/show/associator