Archives du mot-clé Alexandre Grothendieck

Autre cours d’Olivia Caramello sur la théorie des topoi

Sous le hashtag #GrothendieckTopos nous suivons déjà les vidéos du cours donné à Paris sur les topoi de Grothendieck:

https://sites.google.com/site/logiquecategorique/cours/topos_caramello/cours-du-14-janvier-2013-rappels-sur-les-topos-de-grothendieck

mais il y a aussi les cours donnés à Cambridge, sous forme non de vidéos mais de transparents (« slides ») qui constituent un excellent complément:

http://www.oliviacaramello.com/Teaching/Teaching.htm

Les cours 2, 3 et 4 donnent tout ce qu’il faut savoir sur la théorie générale des catégories pour aborder les topoi, et le cours 1 est un survol général du cours :

http://www.oliviacaramello.com/Teaching/CambridgeToposTheoryCourseLecture1.pdf

On y voit apprend qu’un topos peur être vu comme:

– un espace (topologique) généralisé

– un univers mathématique (un univers de pensée)

– une théorie mathématique « modulo » l’équivalence de Morita

Cette dernière notion est plus technique, nous n’avons pas encore vu l’équivalence de Morita, et ce cours et l’autre nous y mèneront : « modulo » veut dire que l’on identifie les théories qui sont équivalentes sous ce point de vue.

Quant aux deux premiers ils résument ce que Laurent Lafforgue appelle la merveilleuse pensée géométrique de Grothendieck héritée (ou rejoignant sans contact direct) selon lui des intuitions de Simone Weil.

Un topos, considéré comme un univers mathématique, est un univers de pensée par ce que la mathématique n’est pas une simple technique (comme on l’a voyait en Orient avant Thales et Platon, mais une pensée, comme Badiou le dit fort justement.

Mais il faut aller plus loin: la MATHESIS est LA pensée

Elle est cette intelligence-sagesse humaine dont parle Descartes et qui est comme la lumière du Soleil intelligible:

https://renatuscartesiusmathesisuniversalis.wordpress.com/2015/07/31/la-table-demeraude-et-la-premiere-regle-pour-la-direction-de-lesprit-de-descartes/

Mais il existe un quatrième point de vue qui est celui spécifique d’Olivia Caramello : celui des topoi comme ponts unifiants entre divers domaines mathématiques, la théorie des topoi devenant ainsi celle de l’unification des mathématiques.

Cette idée fondamentale est expliquée ici:

https://mathesisuniversalis.wordpress.com/2015/07/30/grothendiecktopos-5-idee-centrale-du-cours-sur-les-topoi-de-grothendieck-comme-ponts-unifiants/

Publicités

Alexandre Grothendieck : allons nous continuer la recherche scientifique ? (1972)

Conférence-débat devant le CERN en janvier 1972:

Allons nous continuer la recherche scientifique ?

Au moment où il tint ces propos Grothendieck avait déjà rompu depuis 1970 au moins avec la recherche scientifique « officielle » pour tout un tas de motifs mais de manière déclarée parce qu’il s’était rendu compte des relations de cette recherche avec des organismes et des crédits militaires, c’était l’époque de la guerre du Vietnam et de ses « dérapages » depuis 1968 au moins (bombardements massifs , napalm, etc..) qu’il critiquait violemment.

Lire là dessus:

http://www.sciencesetavenir.fr/fondamental/20141114.OBS5058/pourquoi-alexandre-grothendick-a-t-il-rompu-avec-la-recherche-scientifique.html

J’ai très peu de connaissances de première main sur sa vie personnelle, aucune même, et je sais par expérience qu’il faut se méfier d’articles généralistes écrits sur un tel génie, à la personnalité si riche et si complexe, quant aux écrits de mathématiciens qui le connaissaient bien ils portent surtout sur les questions mathématiques.

Aussi de tels documents, où c’est Grothendieck lui même qui s’explique sur son changement d’attitude et sa déception face à la recherche fondamentale (après avoir été pendant les années 50 et 60 l’un des principaux « moteurs » du progrès des connaissances en mathématiques) sont ils précieux.

Mais celui ci est un peu décevant, à mon avis : nous y découvrons un homme libre, ce dont personne ne peut douter en examinant sa vie et sa carrière, qui peut plaquer d’un jour à l’autre, ce qui le passionnait et donnait un sens à sa vie.

De même il est assez libre pour se livrer à une critique sans concessions du milieu des « scientifiques », divisé entre les « grands » (dont il fait partie) et les « humbles »; un milieu qui apparaît comme une caste parmi les non scientifiques, mais qui est lui même séparé entre une caste supérieure et une caste inférieure.

Mais ne va t’il pas trop loin, dans un souci certes très noble d’autocritique, à laquelle il n’était absolument pas obligé (comme ces  anciens « mandarins » en Chine communiste qui devaient se livrer à leur « autocritique » mais eux contraints et forcés) ?

Est il exact qu’il y a deux motivations pour devenir un scientifique, disons un mathématicien, puisqu'(il ne parle que de ce qu’il connaît : le plaisir de se livrer à des voltiges intellectuelles incompréhensibles aux « non initiés », ou alors le fait d’avoir un salaire régulier ?

Franchement il existe des professions bien mieux payées, y compris dans la Fonction publique, et je ne pense pas que la situation ait été différente il y a 40 ans.

Il oublie simplement quelque chose qu’il ne peut pas ne pas savoir en parlant de cette séparation complète depuis 4 siècles de la connaissance rationnelle et scientifique vis à vis des autres genres de connaissances : artistique, religieuse, philosophique: c’est le fait justement que philosophie et science sont intimement liées, depuis Platon, même si depuis que le développement de la science s’est fait à marche forcée, la philosophie n’a pas pu suivre, de par sa nature même.

Pourquoi cette ardeur infatigable des grands mathématiciens à passer 15 heures par jour (comme il le dit dans le texte, « y compris lui même ») pour développer des théorèmes de plus en plus « complétement ésotériques », compris seulement par 15 ou 20 personnes dans le monde (et ceci dans plusieurs secteurs cloisonnés de la mathématique? pour un salaire médiocre ? pour le pur « plaisir de savoir », une sorte de « libido sciendi » comme celle dénoncée par Pascal à la fin de sa vie, située sur le même plan que le libido sexuelle ? pour le plaisir d’être le premier, de n’être compris que par de rares êtres humains ?

Allons donc !

Comme je me tue à le répéter ici depuis longtemps, mathématique (à un très haut niveau technique certes), puisque comme le dit Simone Weil, la mathématique n’est pas vulgarisable) et philosophie (ou plutôt : une certaine philosophie, qui est avant 1945 de tournure idéaliste et après, chez des gens comme Badiou, « matérialiste dialectique ») vont de pair pour constituer le sens « religieux » de l’existence, (enfin chez Brunschvicg, Badiou récuserait le terme « religieux », mais il loue l’ascèse) ) religieux aux deux sens de « religare » (unir les êtres cherchant l’intelligibilité) et « religere » (unir le multiple des phénomènes disparates dans le cadre d’une explication).

Même s’ils ne le savent pas, ou ne le savent qu’implicitement, les savants (mathématiciens et physiciens, mais aussi philosophes si tout cela va ensemble) sont la caste qui remplace celle des brahmanes en Inde ou des prêtres en Occident: leur motivation est fondamentalement religieuse, et c’est ce qui explique qu’ils suivent une ascèse vitale souvent très sévère, comme les anciens moines, mais à laquelle s’ajoute une ascèse intellectuelle.

Simone Weil distinguait trois sciences : grecque, classique, et moderne comme l’explique Laurent Lafforgue , et elle voulait revenir aux deux premières, la science classique « ayant perdu le Bien » et la moderne ayant perdu la « pensée » dans l’automatisme algébrique du maniement des signes:

https://mathesisuniversalis.wordpress.com/2015/06/03/simone-weil-et-la-mathematique/

Grothendieck oscille, de temps en temps il parle de la science du 20 ème siècle,  la science moderne donc, qui selon lui n’a pas d’avenir, mais aussi assez souvent de la science des (quatre) derniers siècles, science classique puis moderne donc. Mais (page 26 du texte pdf) il évoque aussi au premier siècle (science grecque donc) une science des faisceaux de coniques, des sections coniques, qui était arrivé à un tel degré de complexité que les mathématiciens pensaient que c’était la fin des mathématiques, et qu’ils ont laissé tomber brutalement : cela n’a pas empêché la mathématique de continuer son développement.

Grothendieck est antimilitariste, cela se comprend, mais peut on vraiment se passer des militaires à l’heure actuelle où règne une atmosphère semblable à celle de la période d’avant la seconde guerre mondiale (qu’il a connue enfant et adolescent, puisqu’il est né en 1928)? le problème est il qu’il y ait des armées, ou pas plutôt le fait qu’aucun état, aucun pays, ne peut s’en passer ?

Il y a beaucoup de passages très beaux et très intéressants dans ce texte, comme celui où il parle d’un changement de société , d’une révolution qui mettra fin à la société industrielle, révolution qui passera par un changement complet des mentalités et des relations entre les êtres.

Ceci fait penser bizarrement à un autre mathématicien, américain celui là, Theodor Kaczinski, qui écrivit « La société industrielle et son avenir », un « manifeste » rendu célèbre par son évolution vers le terrorisme (il finit actuellement sa vie en prison, il a 73 ans).

Mais la disparition de la science sous sa forme actuelle, prévue par Grothendieck pour « les prochaines décennies » ne s’est pas produite 40 ans après , et la société occidentale ne s’est pas (encore) complètement effondrée. La physique continue à recevoir des crédits, on peut citer le LHC, qui passionne les scientifiques et pas mal de gens.

Quant à Grothendieck, il a repris la recherche mathématique, et a laissé après 1990 des textes d’un niveau extraordinaire comme celui sur « Les dérivateurs », plus 20000 pages (vingt mille !!!) de notes qui sont actuellement déchiffrées et numérisées et seront mises un jour à disposition de tout le monde (voulant s’y intéresser)  sur Internet…Internet, autre chose qu’il n’avait pas prévue en 1972, et qui a complètement bouleversé la recherche scientifique et lui a donné un nouvel et fantastique essor.

http://www.lemonde.fr/sciences/article/2015/06/17/des-milliers-de-manuscrits-du-genie-des-maths-alexandre-grothendieck-bientot-numerises_4656174_1650684.html

Qui peut savoir ce qui se produira au 21 ème siècle ? pas moi en tout cas, même si l’on peut d’ores et déjà déceler des signaux qui font craindre le pire (plus les nouvelles guerres de religion que le climat, à mon avis) …

Certes la Raison entièrement désintéressée, « apercevant le Dieu des philosophes », le scrupule des savants uniquement préoccupés d’enrichir le trèsor commun des connaissances, tout cela, dans les écrits de Léon Brunschvicg que je cite régulièrement, apparaît comme un enjolivement par rapport à l’existence réelle des scientifiques en chair et en os, préoccupés comme les autres de carrière, d’agent, de célébrité ?

Mais cela ne déclenche t’il pas en nous un scandale plus grand que de savoir que les milieux politiques et économiques sont régulièrement concernés par la corruption ?

N’est ce pas le signe que d’une certaine façon, nous approuvons ce que dit Brunschvicg sur la probité intellectuelle des savants, caste non héritée par le sang mais par l’esprit et qui remplace les anciens ordres religieux (comme le montre aussi le film « Le théorème zéro » de Terry Gilliam ?

Et Grothendieck, sans nul doute un des plus grands savants du 20 ème sièlce avec Einstein, n’est il pas par lui même la preuve, y compris dans cet article qui semble attaquer la science, de cette probité intraitable qui atteint un niveau véritablement religieux ?

 

albert-einstein-intriging-questions-01 Alexander-Grothendieck

 

 

Simone Weil et la mathématique

J’ai déjà évoqué cet article du mathématicien Laurent Lafforgue :

http://www.ihes.fr/~lafforgue/textes/SimoneWeilMathematique.pdf

qui en 12 pages très denses effectue un survol (mais très précis, très scientifique) des relations qu’entretenait Simone Weil avec la mathématique dont son frère André Weil, mathématicien célèbre du groupe Bourbaki, l’entretenait souvent.

http://www.ihes.fr/~lafforgue/

http://fr.wikipedia.org/wiki/Laurent_Lafforgue

Cette relation cruciale de Simone Weil avec la mathématique est marquée dès l’adolescence par sa « vocation à la vérité », qui est d’ordre religieux.

« Désir de la vérité, attente de la vérité, confiance dans la vérité, amour de la vérité« .

Aussi Laurent Lafforgue choisit il de mettre « mathématique » au singulier, comme vérité : la mathématique, la vérité.

Accumuler trop de connaissances vraies, toujours particulières, est un piège sur cette voie de la transfiguration de la connaissance, comme Pascal l’avait déjà vu quand il dénonçait la « libido sciendi »  (aussi dans le fil « Ma nuit chez Maud » que j’ai commenté ici, Jean Louis Trintignant prête t’il à Pascal un rejet des mathématiques, mais cela ne concerne pas LA mathématique, il s’agit juste de la condamnation de la « libido sciendi », qui est du même ordre que la gourmandise ou la luxure, voire même plus grave ? en tout cas David Fincher ne l’a pas incluse dans son film « Se7en », parmi les sept péchés dits « capitaux » punis par un criminel dément ….

Simone Weil évite cette tentation en approfondissant plutôt qu’en élargissant le champ des connaissances:

« Si, en une matière quelconque, on connaît trop de choses, la connaissance se change en ignorance, il faut s’élever à une autre connaissance….

…non pas comprendre des choses nouvelles, mais parvenir à force de patience, d’effort et de méthode à comprendre les vérités évidentes avec tout soi même ».

Or toute vérité (mathématique) est si l’on y pense évidente, mais par le biais de « médiations » qui sont les démonstrations.

Cette « autre connaissance », qui n’est pas une « gnose » ou autre connaissance  secrète ou ésotérique ou « mystique » (selon nous imaginaires)  réside , selon nous toujours, dans l’unification, qui est l’essence même du platonisme évolutif (tenant compte du progrès des connaissances véritables, scientifiques) et de la mathesis universalis comme philosophie dérivée de la théorie des catégories, ou les objets sont reliés par des morphismes ou foncteurs, et ainsi le champ de la connaissance est unifié : au fond ce que nous devons et voulons faire ici , ou sur les trois autres blogs « mathesis universalis οντοποσοφια » :

https://mathesismessianisme.wordpress.com/

https://mathesisuniversalis2.wordpress.com/

https://meditationesdeprimaphilosophia.wordpress.com/

c’est poursuivre (à notre modeste mesure) l’oeuvre de Léon Brunschvicg :

« Les étapes de la philosophie mathématique »

en y intégrant la théorie des catégories qu’il n’a pas pu connaître puisqu’elle est née en 1945, un an après sa mort.

Bien qu’elle ait eu des rapports difficiles et conflictuels avec Brunschvicg (qui était son directeur de thèse) pour le diplôme de fins d’études), on se rend compte qu’en ce qui concerne la mathématique et la vérité leurs pensées sont en fait très proches.

Pourtant elle dit aussi dans son premier Cahier (page 3 de l’article de Lafforgue) :

« la mathématique n’est pas vulgarisable, justement à cause de la part du hasard, de l’imprévu, qui font qu’elle n’est pas une »

ce qui semble le contraire de ce que nous affirmons ici, à savoir que la  mathesis universalis οντοποσοφια est le domaine de la pensée selon l’Un, en tant qu’elle s’oppose à la pensée selon l’être, dite « ontologique », pensée du multiple pur des « étants ».

Mais la pensée selon l’Un contient, d’une certaine façon, la pensée selon l’être comme la théorie des catégories contient la théorie des ensembles (qui sont une catégorie particulière).

D’ailleurs pourquoi alors devrait on dire LA mathématique et non pas LES mathématiques si « cette science » n’est pas une ?

Ce que Simone Weil veut dire c’est qu’elle n’est pas vulgarisable parce qu’elle n’est pas de l’ordre d’un objet déjà bâti que l’on pourrait regarder de l’extérieur et « en gros »  : il faut se soucier des détails et de la précision, de la rigueur, et entrer dedans.

et « dedans » est le domaine de l’incessante activité unificatrice qui est la pensée selon l’Un, non pas d’un « Un » qui serait (transcendant) , comme le Dieu Un de la Bible ou du Coran , mais d’un Un qui doit être, qui est toujours en cours de constitution, d’unification.

L’Un n’est pas (conclusion juste de Badiou pour le Parménide de Platon) mais il DOIT être.

Cette part de l’imprévu (dont parle Simone Weil) dans le progrès de la mathématique , est évidente : qui aurait pu prévoir au début des années 40 l’apparition de la théorie des catégories en 1945, et les travaux de Grothendieck dans les années 50 et 60 qui ont débouché sur la création de la théorie des topoi ?

Et pourtant la théorie des catégories est un merveilleux cadre d’unification de TOUTE la mathématique (ce que n’est pas la théorie des ensembles) comme on le comprend après 1945 : LA mathématique DOIT être une (à la fin des Temps qui n’est pas de l’ordre du temps) donc elle AURA été en cours d’unification avant la théorie des catégories et depuis toujours, mais cela seule la théorie des catégories permet de le comprendre rétrospectivement.

Quant à Grothendieck, Laurent Lafforgue, qui connait son sujet, dit plus loin (page 7) que « l’oeuvre merveilleusement géométrique et conceptuelle d’un autre géant des mathématiques de notre temps, Alexandre Grothendieck, n’est pas sans faire écho à certaines intuitions de Simone Weil »

remarquons qu’il met ici les mathématiques au pluriel : LA mathématique est de l’ordre de l’idéal, de l’Idée, les mathématiques sont LA mathématique en cours de création, c’est à dire d’unification.

Cet article de Lafforgue est tellement crucial (mot venant de CROIX) que je clos ici cet article, pour ne pas alourdir l’effort requis du lecteur (et non du lecTUEUR) d’entrer dans cet ordre de préoccupations, son étude sera continuée plus tard…