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Adjonction 3: dans le cadre des 2-catégories

La définition particulièrement belle et symétrique de l’adjonction dans une 2-catégorie est la suivante:

Definition. Let K be a (strict) 2-category. An adjunction in K is a quadruple (f,g,η,ϵ) where f:C→D and g:D→C are 1-cells, η:idC⇒gf and ϵ:fg⇒idD are 2-cells, these satisfying the triangle identities:
ϵf∙fηgϵ∙ηg=idf=idg

Elle est donnée ici en réponse à une question:

http://math.stackexchange.com/questions/327489/when-two-morphisms-are-dual-to-each-other-in-a-2-category

(Je conseille aux personnes intéressées ce site mathstackexchange, car on y voit l’activité en temps réel de la communauté )

Mais qu’est ce qu’une 2-catégorie, stricte ou non ?

L’idée générale semble simple:

http://ncatlab.org/nlab/show/2-category

Dans une catégorie il y a les objets (niveau zéro, « 0-cells ») puis les morphismes, les flèches entre les objets : niveau 1, 1-morphismes, « 1-cells »
Il suffit d’ajouter un niveau 2, celui des 2-morphismes, ou en anglais « 2-cells » , qui sont des flèches entre les 1-morphismes, pour avoir une 2-catégorie.
Et ainsi de suite : on ajoute des 3-morphismes comme flèches entre les 2-morphismes, cela donne les 3-catégories , etc…jusqu’aux n-catégories, et cela continue à l’infini..
Comme tout serait facile si c’était aussi simple!!
Cette idée donne une vue d’ensemble juste, mais quand on veut composer les 2-morphismes entre eux, ce qui est une opération fondamentale, on a deux sortes de composition:
– horizontale ou « le long des objets », voir:

http://ncatlab.org/nlab/show/horizontal+composition

– verticale ou « le long des 1-morphismes », voir:

http://ncatlab.org/nlab/show/vertical+composition

La composition verticale est plus aisée à comprendre, c’est simplement l’idée intuitive de composition entre deux 1-morphismes qui relient deux objets fixés, tandis que dans la composition horizontale les deux deux 2-morphismes à composer relient des couples de 1-morphismes entre deux couples d’objets différents (avec un en commun, ce qui donne trois objets A, B et C voir page ci dessus)
Le mieux est de prendre un exemple, celui de la 2-catégorie

Cat

des catégories: les objets sont les catégories, les 1-morphismes sont les foncteurs reliant les catégories, et les 2-morphismes sont les transformations naturelles reliant les foncteurs.
Voir la page:

http://ncatlab.org/nlab/show/Cat

Laissons de côté pour l’instant les développements théoriques sur les petites et les larges catégories : retenons que les objets de Cat sont les petites catégories, dont les objets forment un ensemble (et non une classe, j’y reviendrai) et les flèches forment aussi un ensemble, sinon on rencontrerait des paradoxes comme celui de Russell qui montre que la collection de « tous les ensembles » n’est pas un ensemble (c’est une classe)

La composition verticale entre deux transformations naturelles est facile à comprendre, rappelons nous qu’une transformation naturelle entre deux foncteurs reliant deux catégories fixées est un ensemble de morphismes (appelées composantes) dans le second objet (la catégorie cible) indexé par les objets de la première catégorie, la catégorie source.
Voir::

https://mathesisuniversalis2.wordpress.com/2015/07/07/transformations-naturelles/

Comme dans la transformation verticale les deux catégories source et cible restent fixées il suffit de composer les composantes, qui sont des 1-morphismes dans la même catégorie et indexées par la même famille d’indices, pour obtenir les composantes de la transformation naturelle qui sera la composition verticale des deux transformations naturelles.
Par contre dans le cas de la composition horizontale, on peut encore composer deux transformations naturelles (2-morphismes) et cela s’appelle le produit de Godement, voir:

http://ncatlab.org/nlab/show/Godement+product

Un peu plus compliqué…si vous ne saisissez pas pour l’instant, ce n’est pas grave, retenez simplement les deux modes de composition des 2-morphismes, et aussi que

Cat est un 2-topos et une 2-catégorie stricte

Une 2-catégorie est dite stricte quand la composition des 2-morphismes est strictement associative, c’est à dire donnant lieu à des égalités strictes:

A x (b x c) = (a c b) x c

Dans une 2-catégorie plus générale, non stricte, on n’a plus forcément égalité stricte, mais les deux résultats de compositions de 2-morphismes comme ci dessus doivent simplement reliés par un 2-morphisme qui soit un isomorphisme appelé associateur:

http://ncatlab.org/nlab/show/associator