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Morphismes géométriques et 2-catégorie Topos des topoi comme cadre général de nos travaux

Répétons donc le schéma général auquel nous sommes parvenus hier, voir:

https://mathesisuniversalis.wordpress.com/2015/06/23/retour-a-ou-detour-par-la-triade-des-elements-primitifs-de-wronski/

Rappelons que nous y arrivons en tentant d’intégrer ce que le mathématicien-philosophe Hoené Wronski (1776-1853) appelle « élément neutre » comme identité primitive du savoir et de l’être.
Le développement progressif du savoir mathématique et scientifique est ce que nous appelons aussi unification progressive des connaissances humaines véritables (rationnelles, vérifiables ou réfutables) , l’être est ce que Brunschvicg et Marie Anne Cochet appellent la « forme d’exteriorité ». L’élément neutre est alors ce que la métaphysique traditionnelle nomme l’Un. Mais nous nous refusons, pour des raisons tant de fois évoquées, à envisager l’Un transcendant ou « séparé » qui serait l’Un « séparé » de l’activité de connaissance et d’unification humaine; cet « Un séparé » est celui du « Shema Israël » dans la Torah.
Nous voulons donc examiner cet « Un », ou élément-neutre, sans quitter le plan mathématique de l’idée pour celui de la mystique ou de la croyance, et nous arrivons ainsi au schéma fonctoriel:

U : E —————-> S

Où E et S sont deux catégories, qui seront généralement des topoi, à cause des bonnes propriétés dont jouissent ces types de catégories, et où U est un foncteur.

E, qui désigne l’élément-être, sera en général le topos des Ensembles.

Nous savons alors qu’un foncteur contravariant :

S ——————> E

est appelé en mathématiques un prefaisceau, et qu’avec quelques conditions il est un faisceau.

Les préfaisceaux sur S c’est à dire tous les foncteurs de cette sorte forment un topos, et c’est aussi le cas des faisceaux (les noms anglais sont « presheaves » et « sheaves ») en prenant pour morphisme sur entre deux foncteurs les « transformations naturelles » (je reviendrai sur ces notions de base dans des articles spécialement dédiés).

Voir là dessus les pages du nLab:

Presheaf in NLAB

ou en français la page Wikipedia qui commence par un cas spécial de préfaisceau, défini sur un espace topologique:

https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Préfaisceau

(Si vous n’êtes pas familier de ces notions, pas la peine de tout lire en détail, nous y reviendrons souvent, contentez vous de savoir que les préfaisceaux en tant que foncteurs rentrent dans notre schéma).

Je rappelle ici que David Rabouin, dans son article sur le cadre mathématique de « Logiques des mondes » de Badiou, termine sa conclusion en insistant sur l’importance cruciale de ces objets : les faisceaux. Voir là dessus:

https://mathesisuniversalis2.wordpress.com/2015/06/10/objet-relation-et-transcendantal-le-formalisme-de-logiques-des-mondes/

Mais complexifions un peu notre schéma général : pour des considérations de symétrie nous pouvons examiner le cas de deux foncteurs en sens inverse entre les deux topoi E (qui est le topos des Ensembles) et S (qui est un topos avec plus de structure, qui pourra par exemple être un topos de faisceaux).

Si en plus nous exigeons que ces deux foncteurs soient en situation d’adjonction, ce qui est normal car l’adjonction de foncteurs est assurément la notion la plus importante de la théorie des catégories.

Nous obtenons alors la notion de morphisme géométrique, voir:

http://ncatlab.org/nlab/show/geometric+morphism

à laquelle j’ajoute la page sur les morphisme sur géométriques locaux:

http://ncatlab.org/nlab/show/local+geometric+morphism

mais c’est juste pour en garder trace, je reviendrai sur tout cela, et j’expliquerai soigneusement toutes les procédures que je mettrai en oeuvre, pas besoin de lire tout cela dès aujourd’hui : encore une fois ce n’est pas un blog mathématique mais philosophique-religieux, et ici pas de prières ni autres bondieuseries, nous utilisons la mathématique pour progresser à notre rythme vers le Bien, qui commence par l’honneteté et la rigueur de la pensée.

« Tous les topoi » accompagnés des morphismes géométriques entre eux forment la catégorie Topos dont la page est ici sur le nLab:

La 2-catégorie Topos

C’est plus qu’une catégorie : une 2-categorie.

Les objets sont « tous les topoi », les flèches (ou morphismes) sont les morphismes géométriques, et les 2-morphismes, flèches entre les morphismes géométriques, sont les « transformations géométriques »:

http://ncatlab.org/nlab/show/geometric+transformation

Tout cela nous mène aussi vers la « Higher topos theory » de Jacob Lurie, le nouveau Grothendieck, voir:

Jacob Lurie continuateur de Grothendieck

et nous ne serons pas longs à gravir les premières pentes de cette Montagne sacrée de près de mille pages.

L’alternative à la mathesis universalis: devenir le Maître anonyme du monde

La mathesis universalis, cela ne veut pas dire grand chose, on trouve cette notion ou ce projet (?) chez Descartes, chez Leibniz, chez Husserl qui (passé à la philosophie en provenance des mathématiques) s’y intéressa fortement à partir des années 1890 et déclare qu’il est venu à la phénoménologie par la mathesis universalis. Mais tout cela reste assez flou (ce qui est fâcheux pour des gens s’intéressant à la mathématique) , j’y reviendrai bientôt en abordant les travaux de David Rabouin.

Pour ma part j’ai repris à nouveaux frais ce concept, ou programme, ou projet, en l’appelant:

Mathesis universalis οντοποσοφια

pour bien la démarquer des notions précédentes quelles qu’elles soient.

Sans vouloir la définir ici je dirai simplement qu’il s’agit du platonisme en mouvement, le platonisme à l’arrêt étant les différentes interprétations de Platon figées, donc fausses, la dernière étant celle de Badiou.

Ou encore, il s’agit de la progression universelle de l’esprit humain partant de la multiplicité pure des « chocs sensibles », qui coïncide avec la complète ignorance, vers l’Un-Bien que les religions nomment Dieu et qui coïncide aussi avec le Savoir Absolu.

Et il s’agit du seul mouvement de l’esprit humain possible, balisé par les définitions rigoureuses de la mathématique, répondant à ces réquisits.

Tout ceci peut sembler un peu, voire très arrogant, mais je précise immédiatement que tout ce qui est dit ici est, pour le moment, de nature rigoureusement spéculative….
En tout cas, il ne peut s’agir que d’une activité intellectuelle incessante et portée à une sorte d’incandescence…

Quelle en serait l’alternative ?

Un non-agir qui viserait lui aussi une sorte d’Absolu, et ici on ne peut pas ne pas évoquer un film de 1974 qui a reçu le prix Jean Vigo, de Georges Perec et Bernard Queyssane:

« Un homme qui dort »

qui est visible ici:

Un homme qui dort
Il s’agit de scènes de la vie d’un jeune étudiant (Jacques Spiesser) qui un beau jour constate « qu’il ne sait pas vivre et ne saura jamais » et se retire de la vie, de toute vie avec un projet défini, sans vouloir se suicider mais en continuant à vivre dans sa petite chambre, à sortir dehors, à manger dans une brasserie, à jouer au flipper..
Il n’y a pas de dialogues mais un monologue d’une voix féminine (Ludmilla Mickaël) s’adressant au jeune homme en disant « tu » et décrivant ses « états intérieurs ».
Il est facile de déceler deux partie correspondants à deux attitudes du jeune homme (la coupure est très nette et décelable facilement) : dans la première le personnage vit un état d’exaltation (sans le montrer) puisque de par sa « décision » (?) de ne plus faire aucun projet, il a le sentiment d’être le Maître anonyme du monde, n’attendant plus rien de rien ni de personne…

Par contre dans la seconde partie il s’aperçoit qu’il s’est entièrement fourvoyé et reprend contact avec la vie : celle d’un homme vivant dans une société donnée, et qui fait face à des peurs et des espoirs…un homme qui doit un jour mourir.

Le monologue de la fin est très beau, il est donné par cet article qui fait le rapprochement avec « Voyage au bout de la nuit » qui commence Place Clichy, lieu où l’histoire racontée par Georges Perec se termine:

http://off-shore.hautetfort.com/archive/2011/04/15/une-place-dans-le-monde.html

« Nulle malédiction ne pèse sur tes épaules. Tu es un monstre, peut-être, mais pas un monstre des Enfers. Tu n’as pas besoin de te tordre, de hurler. Nulle épreuve ne t’attend, nul rocher de Sisyphe, nulle coupe ne te sera tendue pour t’être aussitôt refusée, nul corbeau n’en veut à tes globes oculaires, nul vautour ne s’est vu infliger l’indigeste pensum de venir te boulotter le foie, matin, midi et soir. Tu n’as pas à te traîner devant tes juges, criant grâce, implorant pitié. Nul ne te condamne et tu n’as pas commis de faute. Nul ne te regarde pour aussitôt se détourner de toi avec horreur.

Le temps, qui veille à tout, a donné la solution magré toi.

Le temps, qui connait la réponse, a continé de couler.

C’est un jour comme celui-ci, un peu plus tard, un peu plus tôt, que tout recommence, que tout commence, que tout continue.

Cesse de parler comme un homme qui rêve.

Regarde ! Regarde-les. Ils sont là des milliers et des milliers, sentinelles silencieuses, Terriens immobiles, plantés le long des quais, des berges, le long des trottoirs noyés de pluie de la place Clichy, en pleine rêverie océanique, attendant les embruns, le déferlement des marées, l’appel rauque des oiseaux de la mer.

Non. Tu n’es plus le maître anonyme du monde, celui sur qui l’histoire n’avait pas de prise, celui qui ne sentait pas la pluie tomber, qui ne voyait pas la nuit venir. Tu n’es plus l’inaccessible, le limpide, le transparent. Tu as peur, tu attends. Tu attends, place Clichy, que la pluie cesse de tomber »

On peut aussi faire le rapprochement avec « L’arrêt de mort » de Maurice Blanchot, dont aucun film n’a été tiré à ma connaissance, et dont le texte de fin est d’une beauté comparable, mais le personnage y prend conscience de la nécessité d’en finir avec son statut d’homme du monde, pour devenir ce qu’il est : un écrivain.

J’évoquerai pour finir la tâche énigmatique fixée par Brunschvicg à la philosophie, et donc à ce que j’appelle mathesis universalis:

« renoncer à la mort »

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