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Survol de la théorie des n-catégories (« Higher category theory »)

Je n’ai pas encore beaucoup avancé dans la théorie des catégories, ni des topoi, mais je commence prochainement à aborder le livre de Jacob Lurie, voir:

https://meditationesdeprimaphilosophia.wordpress.com/2015/06/19/jacob-lurie-continuateur-de-grothendieck/

Ce blog n’est pas un blog de mathématiques, bien qu’il implique de suivre certains travaux de mathématique pure, mais il me semble de toutes façons que c’est une erreur de commencer par la théorie des categories (c’est à dire les 1-catégories), il vaudrait mieux à mon avis commencer directement par le cadre général des n-catégories et des ∞-catégories dont les ensembles qui sont les 0-catégories et les catégories ne sont que des cas particuliers.

https://en.m.wikipedia.org/wiki/Higher_category_theory

http://ncatlab.org/nlab/show/higher+category+theory

« Higher category theory is the generalization of category theory to a context where there are not only morphisms between objects, but generally k-morphisms between (k−1)-morphisms, for all k∈N. »

c’est donc l’etude des « catégories supérieures »: 2-catégories où il y a des 2-morphismes entre les 1-morphismes, etc…en faisant tendre n vers l’infini pour arriver aux ∞-catégories.

Mais cela c’est le schéma général, qui se heurte tout de suite à de grosses difficultés et le terme de « ∞-catégories » doit être précisé comme on le verra dans la suite.

http://ncatlab.org/nlab/show/%28n%2Cr%29-category

Une (n,r)-catégorie est telle que tous les k-morphismes:

http://ncatlab.org/nlab/show/k-morphism

sont triviaux (c’est à dire ils sont l’identité) pour k > n et ce sont des isomorphismes (c’est à dire des morphismes inversibles) pour k > r.

En fait pour que ceci fasse sens même pour n = -2 (auquel cas une n-catégorie est la valeur de vérité « Vrai ») on s’arrange pour que la définition implique que les Hom-catégories « de profondeur n+ 2) soient réduites à un point, qui peut se comprendre comme une (-2)-catégorie, voir cette page très intéressante sur l’idée de point, qui montre toute la profondeur philosophique de la théorie des n-catégories:

http://ncatlab.org/nlab/show/point

Dans le cadre ainsi défini des (n,r)-catégories on peut faire tendre n vers l’infini et l’on obtient alors les (∞,r)-catégories :

http://ncatlab.org/nlab/show/%28infinity%2Cn%29-category

parmi lesquelles deux cas particuliers importants:

– les (∞,0)-categories:

http://ncatlab.org/nlab/show/%28infinity%2C0%29-category

Ce sont les (∞,r)-catégories telles que tous les r-morphismes sont des isomorphismes pour r > 0
On les appelle donc les ∞-groupoides :

http://ncatlab.org/nlab/show/infinity-groupoid

puisqu’un groupoide (c’est à dire un 1-groupoide) est par définition une catégorie (c’est à dire une 1-catégorie) dont tous les morphismes (c’est à dire les 1-morphismes) sont inversibles (sont des isomorphismes): il s’agit de la généralisation ou de la catégorification de la notion de groupe : un groupe est un groupoide à un seul objet.

– les (∞,1)–categories:

http://ncatlab.org/nlab/show/%28infinity%2C1%29-category

Ce sont ces catégories que Jacob Lurie:

http://ncatlab.org/nlab/show/Jacob+Lurie

nomme des ∞-catégories dans son livre que nous allons commencer à étudier « Higher topos theory »:

http://ncatlab.org/nlab/show/higher+topos+theory

car j’en ai la conviction, comme je m’en suis expliqué récemment :

https://mathesisuniversalis.wordpress.com/2015/08/20/plan-de-travail-sur-les-topoi-et-les-n-topoi/

il est absolument nécessaire de suivre et de comprendre cette théorie pour édifier ce qui doit être la résurrection de la philosophie véritable, c’est à dire le platonisme dynamique, en mouvement, disparue avec Léon Brunschvicg le 18 janvier 1944:

Henosophia TOPOSOPHIA μαθεσις uni√ersalis τοποσοφια MATHESIS οντοποσοφια ενοσοφια

Plan de travail sur les topoi et les n-topoi

Je me suis déjà expliqué sur le programme à suivre, notamment ici:

https://mathesisuniversalis.wordpress.com/2015/06/24/morphismes-geometriques-et-2-categorie-topos-des-topoi-comme-cadre-general-de-nos-travaux/

Ce projet de « parcours » n’est rien d’autre que l’axe horizontal de la « loi de création » d’Hoené Wronski (1776-1853) entre l’élément-être EE et l’élément-savoir ES, mais totalement réintégré dans la mathematique, à savoir le SEUL domaine théorique où l’on puisse réellement vérifier, ou réfuter, en démontrant rigoureusement nos propres affirmations.
J’ai aussi expliqué, à propos du travail extraordinaire de David Ellerman « Concrete universels in category theory » que nous nous situons ici complètement sur le plan de l’Idee, fidèles à l’obligation de la physique de « dissoudre » ses objets en entités mathématiques. Les êtres, pour nous, ce ne sont plus les arbres, les maisons, les chaises : ce sont les ensembles, et l’ontologie c’est la théorie des ensembles, qui étudie le topos paradigmatique des ensembles, qui est abordable par la théorie des topoi élémentaires, c’est à dire comme catégorie qui a toutes les limites finies, qui est cartésienne fermée, et qui a un classificateur de sous-objets ( qui dans le cas du topos Ens est l’ensemble {0, 1} des valeurs de vérité, c’est ce que Badiou appelle le transcendantal Ω dans un topos quelconque).
Une définition alternative des topoi élémentaires est : ce sont les catégories qui ont toutes les limites finies et aussi les « power objects », qui dans le cas des ensembles sont les ensembles des parties P(X) d’un ensemble X.
Sur tout cela voir la page du Nlab:

http://ncatlab.org/nlab/show/topos
mais nous reviendrons sur toute ces idées non encore abordées (limites, classificateur de sous-objets, etc..)
L’autre façon d’aborder les topoi, c’est la théorie des topoi de Grothendieck, qui revient au même, mais avec des liens avec la topologie notamment.
Un topos de Grothendieck est la généralisation des faisceaux sur un espace topologique X :

Sh(X)

Si l’on prend pour X l’espace réduit à un point {*} on obtient le topos des ensembles:

Ens = Sh(*)

Le « trajet » dans le « monde des idées » que nous visons part donc du topos Ens = Sh(*) comme topos ontologique, Idée de la multiplicité pure sans relations entre les objets, et donc de l’ignorance : il n’est donc pas étonnant que la physique « classique », élaborée il y a quatre siècles, corresponde selon les théories récentes de la « physique des topoi » (« topos physics ») à ce topos des ensembles qui est en quelque sorte son cadre théorique.
Le trajet peut aussi être considéré comme celui de l’unification progressive, c’est à dire de l’intelligibilité et du Savoir croissant: de l’élément-être EE qui est dans notre schéma, ou correspond au topos Ens, en s’élevant progressivement vers ES élément-savoir selon l’échelle des topoi ayant « plus de structure » et celle des 2-topoi, n-topoi : la « higher topos theory ».
Cela est d’autant plus exaltant que ce domaine est en friches, il est en quelque sorte le « 

Far West

 » des mathématiciens-philosophes, exploré seulement par quelques pionniers solitaires comme Jacob Lurie:

https://meditationesdeprimaphilosophia.wordpress.com/2015/06/19/jacob-lurie-continuateur-de-grothendieck/

Mais même l’énorme livre de Jacob Lurie, près de mille pages, « Higher topos theory » n’aborde qu’une partie très restreinte de l’immense domaine : celui des

(∞,1)-topoi

Voir:

http://ncatlab.org/nlab/show/%28infinity%2C1%29-topos+theory

et

https://mathesisuniversalis.wordpress.com/2015/07/26/lhumanite-est-dans-les-tenebres-sur-la-theorie-des-higher-categories/

La première marche que nous devons gravir après les topoi est celle des 2-topoi sur laquelle des travaux existent.

Or si l’exemple paradigmatique d’un topos est la catégorie Ens des ensembles, l’exemple paradigmatique d’un 2-topos est la 2-catégorie CAt des catégories, foncteurs et transformations naturelles.

http://ncatlab.org/nlab/show/Cat

Or deux théories entièrement categoriques, largement dûes à William Lawvere, existent sur la théorie et la catégorie des ensembles et sur la 2-catégorie des catégories:

ETCS (« elementary theory of the category of Sets » voir:

http://ncatlab.org/nlab/show/ETCS

et ETCC (« elementary theory of the category of categories »)

voir:

http://ncatlab.org/nlab/show/ETCC

L’humanité est dans les ténèbres …sur la théorie des « higher categories »

Vous rappelez vous cet article ?

https://mathesisuniversalis.wordpress.com/2015/06/24/morphismes-geometriques-et-2-categorie-topos-des-topoi-comme-cadre-general-de-nos-travaux/

Si vous suivez les travaux entrepris ici, mettez le dans un coin de votre tête car il définit le cadre de ces travaux (enfin pour l’instant) et je cherche sans arrêt à glaner des connaissances sur cette 2-categorie >Topos

Or je viens de tomber sur cette question dans « Mathoverflow », et surtout le dialogue qui s’ensuit:

http://mathoverflow.net/questions/5457/omega-topos-theory

question posée par quelqu’un qui lit le livre de près de mille pages de Jacob Lurie, donc nettement en avance sur nous.

Voici trois réponses typiques qu’il provoque et qui semblent doucher son bel enthousiasme:

« The short answer is no. Even 2-toposes are poorly understood — we don’t know what the right definition is. For higher dimensions, including ∞, we definitely don’t have the answers.
…..

the ignorance of humanity on higher categories should never be underestimated. The answer to almost any intelligent question is « no one knows precisely (though many people have made guesses) »…..

…One should keep in mind that Jacob Lurie’s book « only » (if I may use this word) discusses the (oo,1)-version of Grothendieck toposes/category of sheaves: the (oo,1)-toposes in Jacob Lurie’s book are (oo,1)-categories of (oo,1)-sheaves/of oo-stacks….

….

Similarly, while a general theory of n-toposes for higher n is largely missing, there is a bit more known about (oo,n)-sheaves, i.e. of oo-stacks which are presheaves with values not just in oo-groupoids but in (oo,n)-categories.
Un lien qui est tout à fait exaltant, pas du tout désespérant..
Car nos connaissances si pauvres en ce domaine sont appelées à augmenter, et j’ai la conviction (motivée par mon article que j’ai cité au début) que c’est précisément « là que cela se passe » pour le changement de niveau de l’humanité.
Certes trouver des planètes similaires à notre Terre à plus de mille années-lumière c’est passionnant, comme envoyer un robot sur une comète..

Mais qu’est ce que cela représente face à ces recherches sur la « higher topos theory » où se trouve, j’en ai la conviction, la clef de cette initiation universelle qu’est la « pensée selon l’un »?

Le point de départ est si simple : il consiste à mettre l’accent sur les flèches, foncteurs, transformations, plutôt que sur les points, éléments, objets, substances..
Il y a aussi un autre passage important dans ce lien:

« 

Why shouldn’t the primordial example of a 2-topos be Topos (the 2-category of toposes, logical morphisms, and natural transformations »

Oui mais la nôtre est celle qui a comme 1-morphismes les morphismes géométriques, non les « logical morphismes »

Or ce sont des morphismes tout à fait différents et il existe bien une 2-categorie des topos avec les morphismes logiques comme 1-morphismes, qui s’appelle LogTopos, ou Log, cet autre lien de Mathoverflow en parle:

http://mathoverflow.net/questions/70816/is-the-category-of-toposes-cocomplete

et voir aussi celui ci sur la 2-catégorie Topos:

http://mathoverflow.net/questions/59862/does-the-2-category-of-toposes-admit-pseudo-colimits

Morphismes géométriques et 2-catégorie Topos des topoi comme cadre général de nos travaux

Répétons donc le schéma général auquel nous sommes parvenus hier, voir:

https://mathesisuniversalis.wordpress.com/2015/06/23/retour-a-ou-detour-par-la-triade-des-elements-primitifs-de-wronski/

Rappelons que nous y arrivons en tentant d’intégrer ce que le mathématicien-philosophe Hoené Wronski (1776-1853) appelle « élément neutre » comme identité primitive du savoir et de l’être.
Le développement progressif du savoir mathématique et scientifique est ce que nous appelons aussi unification progressive des connaissances humaines véritables (rationnelles, vérifiables ou réfutables) , l’être est ce que Brunschvicg et Marie Anne Cochet appellent la « forme d’exteriorité ». L’élément neutre est alors ce que la métaphysique traditionnelle nomme l’Un. Mais nous nous refusons, pour des raisons tant de fois évoquées, à envisager l’Un transcendant ou « séparé » qui serait l’Un « séparé » de l’activité de connaissance et d’unification humaine; cet « Un séparé » est celui du « Shema Israël » dans la Torah.
Nous voulons donc examiner cet « Un », ou élément-neutre, sans quitter le plan mathématique de l’idée pour celui de la mystique ou de la croyance, et nous arrivons ainsi au schéma fonctoriel:

U : E —————-> S

Où E et S sont deux catégories, qui seront généralement des topoi, à cause des bonnes propriétés dont jouissent ces types de catégories, et où U est un foncteur.

E, qui désigne l’élément-être, sera en général le topos des Ensembles.

Nous savons alors qu’un foncteur contravariant :

S ——————> E

est appelé en mathématiques un prefaisceau, et qu’avec quelques conditions il est un faisceau.

Les préfaisceaux sur S c’est à dire tous les foncteurs de cette sorte forment un topos, et c’est aussi le cas des faisceaux (les noms anglais sont « presheaves » et « sheaves ») en prenant pour morphisme sur entre deux foncteurs les « transformations naturelles » (je reviendrai sur ces notions de base dans des articles spécialement dédiés).

Voir là dessus les pages du nLab:

Presheaf in NLAB

ou en français la page Wikipedia qui commence par un cas spécial de préfaisceau, défini sur un espace topologique:

https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Préfaisceau

(Si vous n’êtes pas familier de ces notions, pas la peine de tout lire en détail, nous y reviendrons souvent, contentez vous de savoir que les préfaisceaux en tant que foncteurs rentrent dans notre schéma).

Je rappelle ici que David Rabouin, dans son article sur le cadre mathématique de « Logiques des mondes » de Badiou, termine sa conclusion en insistant sur l’importance cruciale de ces objets : les faisceaux. Voir là dessus:

https://mathesisuniversalis2.wordpress.com/2015/06/10/objet-relation-et-transcendantal-le-formalisme-de-logiques-des-mondes/

Mais complexifions un peu notre schéma général : pour des considérations de symétrie nous pouvons examiner le cas de deux foncteurs en sens inverse entre les deux topoi E (qui est le topos des Ensembles) et S (qui est un topos avec plus de structure, qui pourra par exemple être un topos de faisceaux).

Si en plus nous exigeons que ces deux foncteurs soient en situation d’adjonction, ce qui est normal car l’adjonction de foncteurs est assurément la notion la plus importante de la théorie des catégories.

Nous obtenons alors la notion de morphisme géométrique, voir:

http://ncatlab.org/nlab/show/geometric+morphism

à laquelle j’ajoute la page sur les morphisme sur géométriques locaux:

http://ncatlab.org/nlab/show/local+geometric+morphism

mais c’est juste pour en garder trace, je reviendrai sur tout cela, et j’expliquerai soigneusement toutes les procédures que je mettrai en oeuvre, pas besoin de lire tout cela dès aujourd’hui : encore une fois ce n’est pas un blog mathématique mais philosophique-religieux, et ici pas de prières ni autres bondieuseries, nous utilisons la mathématique pour progresser à notre rythme vers le Bien, qui commence par l’honneteté et la rigueur de la pensée.

« Tous les topoi » accompagnés des morphismes géométriques entre eux forment la catégorie Topos dont la page est ici sur le nLab:

La 2-catégorie Topos

C’est plus qu’une catégorie : une 2-categorie.

Les objets sont « tous les topoi », les flèches (ou morphismes) sont les morphismes géométriques, et les 2-morphismes, flèches entre les morphismes géométriques, sont les « transformations géométriques »:

http://ncatlab.org/nlab/show/geometric+transformation

Tout cela nous mène aussi vers la « Higher topos theory » de Jacob Lurie, le nouveau Grothendieck, voir:

Jacob Lurie continuateur de Grothendieck

et nous ne serons pas longs à gravir les premières pentes de cette Montagne sacrée de près de mille pages.