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Autre cours d’Olivia Caramello sur la théorie des topoi

Sous le hashtag #GrothendieckTopos nous suivons déjà les vidéos du cours donné à Paris sur les topoi de Grothendieck:

https://sites.google.com/site/logiquecategorique/cours/topos_caramello/cours-du-14-janvier-2013-rappels-sur-les-topos-de-grothendieck

mais il y a aussi les cours donnés à Cambridge, sous forme non de vidéos mais de transparents (« slides ») qui constituent un excellent complément:

http://www.oliviacaramello.com/Teaching/Teaching.htm

Les cours 2, 3 et 4 donnent tout ce qu’il faut savoir sur la théorie générale des catégories pour aborder les topoi, et le cours 1 est un survol général du cours :

http://www.oliviacaramello.com/Teaching/CambridgeToposTheoryCourseLecture1.pdf

On y voit apprend qu’un topos peur être vu comme:

– un espace (topologique) généralisé

– un univers mathématique (un univers de pensée)

– une théorie mathématique « modulo » l’équivalence de Morita

Cette dernière notion est plus technique, nous n’avons pas encore vu l’équivalence de Morita, et ce cours et l’autre nous y mèneront : « modulo » veut dire que l’on identifie les théories qui sont équivalentes sous ce point de vue.

Quant aux deux premiers ils résument ce que Laurent Lafforgue appelle la merveilleuse pensée géométrique de Grothendieck héritée (ou rejoignant sans contact direct) selon lui des intuitions de Simone Weil.

Un topos, considéré comme un univers mathématique, est un univers de pensée par ce que la mathématique n’est pas une simple technique (comme on l’a voyait en Orient avant Thales et Platon, mais une pensée, comme Badiou le dit fort justement.

Mais il faut aller plus loin: la MATHESIS est LA pensée

Elle est cette intelligence-sagesse humaine dont parle Descartes et qui est comme la lumière du Soleil intelligible:

https://renatuscartesiusmathesisuniversalis.wordpress.com/2015/07/31/la-table-demeraude-et-la-premiere-regle-pour-la-direction-de-lesprit-de-descartes/

Mais il existe un quatrième point de vue qui est celui spécifique d’Olivia Caramello : celui des topoi comme ponts unifiants entre divers domaines mathématiques, la théorie des topoi devenant ainsi celle de l’unification des mathématiques.

Cette idée fondamentale est expliquée ici:

https://mathesisuniversalis.wordpress.com/2015/07/30/grothendiecktopos-5-idee-centrale-du-cours-sur-les-topoi-de-grothendieck-comme-ponts-unifiants/

#GrothendieckTopos 4 : faisceaux sur un site, topos de Grothendieck

Suite de l’étude du cours d’Olivia Caramello sur les topoi de Grothendieck:

https://renatuscartesiusmathesisuniversalis.wordpress.com/2015/07/01/grothendiecktopos-3-topologie-de-grothendieck-sur-une-categorie/

cours qui est ici:

https://sites.google.com/site/logiquecategorique/cours/topos_caramello/cours-du-14-janvier-2013-rappels-sur-les-topos-de-grothendieck#TOC-Faisceaux-sur-un-site.-Topos-de-Grothendieck

Aujourd’hui nous étudions la video 5:

Faisceaux sur un site, topos de Grothendieck

Un site est simplement une catégorie arbitraire C à laquelle on associe une topologie de Grothendieck

La notion de topologie de Grothendieck a été vue dans #GrothendieckTopos 3 (lien donné au début de cet article).
Pour l’instant, sauf bien sûr si vous êtes déjà familier avec ces notions (auquel cas vous n’avez pas besoin de perdre votre temps à lire cet article, qui est juste une paraphrase du cours d’Olivia), je vous conseille de ne pas trop perdre de temps avec les détails des notions nouvelles introduites : crible, site, famille j-couvrante, etc..
Retenez par contre l’équivalent anglais de ces mots :

Crible = sieve

Topologie de Grothendieck = Grothendieck topology

Préfaisceau = presheaf, presheaves

Faisceau = sheaf, sheaves

Faisceau sur un site : sheaf on a site

Sauf bien sûr si vous comprenez tout immédiatement, retenez simplement dans un premier temps les principes et l’architecture des concepts : la doctrine des topos de Grothendieck procède par abstraction et généralisation en partant des prefaisceaux et faisceaux sur un espace topologique, c’est à dire sur la catégorie dont les objets sont les ouverts de la topologie.
Un Préfaisceau sur cette catégorie O est un foncteur :

O_op—————–> Ens

Où O_op est la catégorie O mais où l’on inverse le sens des flèches.

Un faisceau est un préfaisceau avec en plus des contraintes de compatibilité, Olivia l’explique dans la vidéo 4. Voir aussi 2.1 rappels catégoriques dans:

http://kevin.quirin.free.fr/Trucs/memoire_M2.pdf

On passe de l’exemple particulier des catégories des ouverts d’un espace topologique à une catégories générale par la notion de crible sur un objet c, déjà expliquée, c’est à dire d’une famille de flèches ayant pour cible cet objet, et ensuite par la notion de topologie de Grothendieck qui consiste à associer à chaque objet de la catégorie un ensemble de criblés respectant les trois conditions données dans la vidéo 4.
Olivia fait remarquer justement le degré de généralité énorme de la notion de site qui consiste à associer à une catégorie C générale une topologie de Grothendieck, or de par la construction même il y a beaucoup de topologies différentes sur une même catégorie (comme sur un ensemble de points pour aboutir à la notion banale d’espace topologique).
Cette page en anglais du Nlab fait bien la liaison avec les familles couvrantes et les recouvrements d’ouverts :

http://ncatlab.org/nlab/show/coverage

(Se contenter de « Idéal », définition et « sheaves on a site » qui explique la notion de compatibilité pour les faisceaux plus clairement qu’Olivia et sa craie:

« For any collection of elements xi∈X(Ui) such that, whenever g:V→Ui and h:V→Uj are such that fig=fjh, we have X(g)(xi)=X(h)(xj), then there exists a unique x∈X(U) such that X(fi)(x)=xi for all i. »

Mais encore une fois si cela vous semble trop technique retenez simplement que la catégorie ainsi définie notée:

Sh(C) des faisceaux sur le site C, Sh(C) qui est un topos de Grothendieck

est une sous-catégorie de la catégorie des préfaisceaux sur C, c’est à dire des foncteurs de la catégorie opposée de C vers la catégorie des ensembles.