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#GrothendieckTopos 4 : faisceaux sur un site, topos de Grothendieck

Suite de l’étude du cours d’Olivia Caramello sur les topoi de Grothendieck:

https://renatuscartesiusmathesisuniversalis.wordpress.com/2015/07/01/grothendiecktopos-3-topologie-de-grothendieck-sur-une-categorie/

cours qui est ici:

https://sites.google.com/site/logiquecategorique/cours/topos_caramello/cours-du-14-janvier-2013-rappels-sur-les-topos-de-grothendieck#TOC-Faisceaux-sur-un-site.-Topos-de-Grothendieck

Aujourd’hui nous étudions la video 5:

Faisceaux sur un site, topos de Grothendieck

Un site est simplement une catégorie arbitraire C à laquelle on associe une topologie de Grothendieck

La notion de topologie de Grothendieck a été vue dans #GrothendieckTopos 3 (lien donné au début de cet article).
Pour l’instant, sauf bien sûr si vous êtes déjà familier avec ces notions (auquel cas vous n’avez pas besoin de perdre votre temps à lire cet article, qui est juste une paraphrase du cours d’Olivia), je vous conseille de ne pas trop perdre de temps avec les détails des notions nouvelles introduites : crible, site, famille j-couvrante, etc..
Retenez par contre l’équivalent anglais de ces mots :

Crible = sieve

Topologie de Grothendieck = Grothendieck topology

Préfaisceau = presheaf, presheaves

Faisceau = sheaf, sheaves

Faisceau sur un site : sheaf on a site

Sauf bien sûr si vous comprenez tout immédiatement, retenez simplement dans un premier temps les principes et l’architecture des concepts : la doctrine des topos de Grothendieck procède par abstraction et généralisation en partant des prefaisceaux et faisceaux sur un espace topologique, c’est à dire sur la catégorie dont les objets sont les ouverts de la topologie.
Un Préfaisceau sur cette catégorie O est un foncteur :

O_op—————–> Ens

Où O_op est la catégorie O mais où l’on inverse le sens des flèches.

Un faisceau est un préfaisceau avec en plus des contraintes de compatibilité, Olivia l’explique dans la vidéo 4. Voir aussi 2.1 rappels catégoriques dans:

http://kevin.quirin.free.fr/Trucs/memoire_M2.pdf

On passe de l’exemple particulier des catégories des ouverts d’un espace topologique à une catégories générale par la notion de crible sur un objet c, déjà expliquée, c’est à dire d’une famille de flèches ayant pour cible cet objet, et ensuite par la notion de topologie de Grothendieck qui consiste à associer à chaque objet de la catégorie un ensemble de criblés respectant les trois conditions données dans la vidéo 4.
Olivia fait remarquer justement le degré de généralité énorme de la notion de site qui consiste à associer à une catégorie C générale une topologie de Grothendieck, or de par la construction même il y a beaucoup de topologies différentes sur une même catégorie (comme sur un ensemble de points pour aboutir à la notion banale d’espace topologique).
Cette page en anglais du Nlab fait bien la liaison avec les familles couvrantes et les recouvrements d’ouverts :

http://ncatlab.org/nlab/show/coverage

(Se contenter de « Idéal », définition et « sheaves on a site » qui explique la notion de compatibilité pour les faisceaux plus clairement qu’Olivia et sa craie:

« For any collection of elements xi∈X(Ui) such that, whenever g:V→Ui and h:V→Uj are such that fig=fjh, we have X(g)(xi)=X(h)(xj), then there exists a unique x∈X(U) such that X(fi)(x)=xi for all i. »

Mais encore une fois si cela vous semble trop technique retenez simplement que la catégorie ainsi définie notée:

Sh(C) des faisceaux sur le site C, Sh(C) qui est un topos de Grothendieck

est une sous-catégorie de la catégorie des préfaisceaux sur C, c’est à dire des foncteurs de la catégorie opposée de C vers la catégorie des ensembles.

Morphismes géométriques et 2-catégorie Topos des topoi comme cadre général de nos travaux

Répétons donc le schéma général auquel nous sommes parvenus hier, voir:

https://mathesisuniversalis.wordpress.com/2015/06/23/retour-a-ou-detour-par-la-triade-des-elements-primitifs-de-wronski/

Rappelons que nous y arrivons en tentant d’intégrer ce que le mathématicien-philosophe Hoené Wronski (1776-1853) appelle « élément neutre » comme identité primitive du savoir et de l’être.
Le développement progressif du savoir mathématique et scientifique est ce que nous appelons aussi unification progressive des connaissances humaines véritables (rationnelles, vérifiables ou réfutables) , l’être est ce que Brunschvicg et Marie Anne Cochet appellent la « forme d’exteriorité ». L’élément neutre est alors ce que la métaphysique traditionnelle nomme l’Un. Mais nous nous refusons, pour des raisons tant de fois évoquées, à envisager l’Un transcendant ou « séparé » qui serait l’Un « séparé » de l’activité de connaissance et d’unification humaine; cet « Un séparé » est celui du « Shema Israël » dans la Torah.
Nous voulons donc examiner cet « Un », ou élément-neutre, sans quitter le plan mathématique de l’idée pour celui de la mystique ou de la croyance, et nous arrivons ainsi au schéma fonctoriel:

U : E —————-> S

Où E et S sont deux catégories, qui seront généralement des topoi, à cause des bonnes propriétés dont jouissent ces types de catégories, et où U est un foncteur.

E, qui désigne l’élément-être, sera en général le topos des Ensembles.

Nous savons alors qu’un foncteur contravariant :

S ——————> E

est appelé en mathématiques un prefaisceau, et qu’avec quelques conditions il est un faisceau.

Les préfaisceaux sur S c’est à dire tous les foncteurs de cette sorte forment un topos, et c’est aussi le cas des faisceaux (les noms anglais sont « presheaves » et « sheaves ») en prenant pour morphisme sur entre deux foncteurs les « transformations naturelles » (je reviendrai sur ces notions de base dans des articles spécialement dédiés).

Voir là dessus les pages du nLab:

Presheaf in NLAB

ou en français la page Wikipedia qui commence par un cas spécial de préfaisceau, défini sur un espace topologique:

https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Préfaisceau

(Si vous n’êtes pas familier de ces notions, pas la peine de tout lire en détail, nous y reviendrons souvent, contentez vous de savoir que les préfaisceaux en tant que foncteurs rentrent dans notre schéma).

Je rappelle ici que David Rabouin, dans son article sur le cadre mathématique de « Logiques des mondes » de Badiou, termine sa conclusion en insistant sur l’importance cruciale de ces objets : les faisceaux. Voir là dessus:

https://mathesisuniversalis2.wordpress.com/2015/06/10/objet-relation-et-transcendantal-le-formalisme-de-logiques-des-mondes/

Mais complexifions un peu notre schéma général : pour des considérations de symétrie nous pouvons examiner le cas de deux foncteurs en sens inverse entre les deux topoi E (qui est le topos des Ensembles) et S (qui est un topos avec plus de structure, qui pourra par exemple être un topos de faisceaux).

Si en plus nous exigeons que ces deux foncteurs soient en situation d’adjonction, ce qui est normal car l’adjonction de foncteurs est assurément la notion la plus importante de la théorie des catégories.

Nous obtenons alors la notion de morphisme géométrique, voir:

http://ncatlab.org/nlab/show/geometric+morphism

à laquelle j’ajoute la page sur les morphisme sur géométriques locaux:

http://ncatlab.org/nlab/show/local+geometric+morphism

mais c’est juste pour en garder trace, je reviendrai sur tout cela, et j’expliquerai soigneusement toutes les procédures que je mettrai en oeuvre, pas besoin de lire tout cela dès aujourd’hui : encore une fois ce n’est pas un blog mathématique mais philosophique-religieux, et ici pas de prières ni autres bondieuseries, nous utilisons la mathématique pour progresser à notre rythme vers le Bien, qui commence par l’honneteté et la rigueur de la pensée.

« Tous les topoi » accompagnés des morphismes géométriques entre eux forment la catégorie Topos dont la page est ici sur le nLab:

La 2-catégorie Topos

C’est plus qu’une catégorie : une 2-categorie.

Les objets sont « tous les topoi », les flèches (ou morphismes) sont les morphismes géométriques, et les 2-morphismes, flèches entre les morphismes géométriques, sont les « transformations géométriques »:

http://ncatlab.org/nlab/show/geometric+transformation

Tout cela nous mène aussi vers la « Higher topos theory » de Jacob Lurie, le nouveau Grothendieck, voir:

Jacob Lurie continuateur de Grothendieck

et nous ne serons pas longs à gravir les premières pentes de cette Montagne sacrée de près de mille pages.