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Autre cours d’Olivia Caramello sur la théorie des topoi

Sous le hashtag #GrothendieckTopos nous suivons déjà les vidéos du cours donné à Paris sur les topoi de Grothendieck:

https://sites.google.com/site/logiquecategorique/cours/topos_caramello/cours-du-14-janvier-2013-rappels-sur-les-topos-de-grothendieck

mais il y a aussi les cours donnés à Cambridge, sous forme non de vidéos mais de transparents (« slides ») qui constituent un excellent complément:

http://www.oliviacaramello.com/Teaching/Teaching.htm

Les cours 2, 3 et 4 donnent tout ce qu’il faut savoir sur la théorie générale des catégories pour aborder les topoi, et le cours 1 est un survol général du cours :

http://www.oliviacaramello.com/Teaching/CambridgeToposTheoryCourseLecture1.pdf

On y voit apprend qu’un topos peur être vu comme:

– un espace (topologique) généralisé

– un univers mathématique (un univers de pensée)

– une théorie mathématique « modulo » l’équivalence de Morita

Cette dernière notion est plus technique, nous n’avons pas encore vu l’équivalence de Morita, et ce cours et l’autre nous y mèneront : « modulo » veut dire que l’on identifie les théories qui sont équivalentes sous ce point de vue.

Quant aux deux premiers ils résument ce que Laurent Lafforgue appelle la merveilleuse pensée géométrique de Grothendieck héritée (ou rejoignant sans contact direct) selon lui des intuitions de Simone Weil.

Un topos, considéré comme un univers mathématique, est un univers de pensée par ce que la mathématique n’est pas une simple technique (comme on l’a voyait en Orient avant Thales et Platon, mais une pensée, comme Badiou le dit fort justement.

Mais il faut aller plus loin: la MATHESIS est LA pensée

Elle est cette intelligence-sagesse humaine dont parle Descartes et qui est comme la lumière du Soleil intelligible:

https://renatuscartesiusmathesisuniversalis.wordpress.com/2015/07/31/la-table-demeraude-et-la-premiere-regle-pour-la-direction-de-lesprit-de-descartes/

Mais il existe un quatrième point de vue qui est celui spécifique d’Olivia Caramello : celui des topoi comme ponts unifiants entre divers domaines mathématiques, la théorie des topoi devenant ainsi celle de l’unification des mathématiques.

Cette idée fondamentale est expliquée ici:

https://mathesisuniversalis.wordpress.com/2015/07/30/grothendiecktopos-5-idee-centrale-du-cours-sur-les-topoi-de-grothendieck-comme-ponts-unifiants/

Adjonction 3: dans le cadre des 2-catégories

La définition particulièrement belle et symétrique de l’adjonction dans une 2-catégorie est la suivante:

Definition. Let K be a (strict) 2-category. An adjunction in K is a quadruple (f,g,η,ϵ) where f:C→D and g:D→C are 1-cells, η:idC⇒gf and ϵ:fg⇒idD are 2-cells, these satisfying the triangle identities:
ϵf∙fηgϵ∙ηg=idf=idg

Elle est donnée ici en réponse à une question:

http://math.stackexchange.com/questions/327489/when-two-morphisms-are-dual-to-each-other-in-a-2-category

(Je conseille aux personnes intéressées ce site mathstackexchange, car on y voit l’activité en temps réel de la communauté )

Mais qu’est ce qu’une 2-catégorie, stricte ou non ?

L’idée générale semble simple:

http://ncatlab.org/nlab/show/2-category

Dans une catégorie il y a les objets (niveau zéro, « 0-cells ») puis les morphismes, les flèches entre les objets : niveau 1, 1-morphismes, « 1-cells »
Il suffit d’ajouter un niveau 2, celui des 2-morphismes, ou en anglais « 2-cells » , qui sont des flèches entre les 1-morphismes, pour avoir une 2-catégorie.
Et ainsi de suite : on ajoute des 3-morphismes comme flèches entre les 2-morphismes, cela donne les 3-catégories , etc…jusqu’aux n-catégories, et cela continue à l’infini..
Comme tout serait facile si c’était aussi simple!!
Cette idée donne une vue d’ensemble juste, mais quand on veut composer les 2-morphismes entre eux, ce qui est une opération fondamentale, on a deux sortes de composition:
– horizontale ou « le long des objets », voir:

http://ncatlab.org/nlab/show/horizontal+composition

– verticale ou « le long des 1-morphismes », voir:

http://ncatlab.org/nlab/show/vertical+composition

La composition verticale est plus aisée à comprendre, c’est simplement l’idée intuitive de composition entre deux 1-morphismes qui relient deux objets fixés, tandis que dans la composition horizontale les deux deux 2-morphismes à composer relient des couples de 1-morphismes entre deux couples d’objets différents (avec un en commun, ce qui donne trois objets A, B et C voir page ci dessus)
Le mieux est de prendre un exemple, celui de la 2-catégorie

Cat

des catégories: les objets sont les catégories, les 1-morphismes sont les foncteurs reliant les catégories, et les 2-morphismes sont les transformations naturelles reliant les foncteurs.
Voir la page:

http://ncatlab.org/nlab/show/Cat

Laissons de côté pour l’instant les développements théoriques sur les petites et les larges catégories : retenons que les objets de Cat sont les petites catégories, dont les objets forment un ensemble (et non une classe, j’y reviendrai) et les flèches forment aussi un ensemble, sinon on rencontrerait des paradoxes comme celui de Russell qui montre que la collection de « tous les ensembles » n’est pas un ensemble (c’est une classe)

La composition verticale entre deux transformations naturelles est facile à comprendre, rappelons nous qu’une transformation naturelle entre deux foncteurs reliant deux catégories fixées est un ensemble de morphismes (appelées composantes) dans le second objet (la catégorie cible) indexé par les objets de la première catégorie, la catégorie source.
Voir::

https://mathesisuniversalis2.wordpress.com/2015/07/07/transformations-naturelles/

Comme dans la transformation verticale les deux catégories source et cible restent fixées il suffit de composer les composantes, qui sont des 1-morphismes dans la même catégorie et indexées par la même famille d’indices, pour obtenir les composantes de la transformation naturelle qui sera la composition verticale des deux transformations naturelles.
Par contre dans le cas de la composition horizontale, on peut encore composer deux transformations naturelles (2-morphismes) et cela s’appelle le produit de Godement, voir:

http://ncatlab.org/nlab/show/Godement+product

Un peu plus compliqué…si vous ne saisissez pas pour l’instant, ce n’est pas grave, retenez simplement les deux modes de composition des 2-morphismes, et aussi que

Cat est un 2-topos et une 2-catégorie stricte

Une 2-catégorie est dite stricte quand la composition des 2-morphismes est strictement associative, c’est à dire donnant lieu à des égalités strictes:

A x (b x c) = (a c b) x c

Dans une 2-catégorie plus générale, non stricte, on n’a plus forcément égalité stricte, mais les deux résultats de compositions de 2-morphismes comme ci dessus doivent simplement reliés par un 2-morphisme qui soit un isomorphisme appelé associateur:

http://ncatlab.org/nlab/show/associator

Retour à (ou détour par) la triade des éléments primitifs de Wronski

Dans cet article déjà assez ancien :

https://balzacwronskimessianisme.wordpress.com/2012/04/26/la-loi-de-creation-de-wronski-et-la-theorie-des-topoi/

j’avais fait correspondre aux trois éléments primitifs du philosophe-mathématicien Hoené Wronski : élément être EE, élément savoir ES et élément neutre EN, qui se trouvent en tout système de réalités (voir lien ci dessus)une situation très générale en mathématiques, à savoir deux catégories EE et ES, jouant respectivement le rôle de l’élément être et de l’élément savoir, reliées par un foncteur jouant le rôle de l’élément neutre EN.
Lorsque la « loi de création » de Wronski est prise dans un sens absolu, métaphysique, l’élément neutre est dit : « identité primitive de l’être et du savoir ».
Cependant comme nous l’avons déjà expliqué nous faisons le choix de remplacer les « logoi » de la vieille métaphysique par les mathemata, choix que n’aurait pas désavoué le mathématicien Wronski, et choix qu’il a fait lui même puisqu’il prend comme premier système de réalités le domaine des mathématiques, et étend ensuite sa loi à tous les autres domaines de recherches.
Cependant Wronski se situe à la charnière d’une évolution survenant chez et par son contemporain Galois : l’évolution des éléments simples aux structures, notamment celle des groupes. Wronski manque le train galoisien et en reste aux éléments.
Nous nous situons quant à nous après la seconde évolution, survenue en 1945, qui passe des structures aux catégories.
Les notions (logoi) métaphysiques de Wronski sont donc remplacées par des notions mathématiques appartenant à la théorie des catégories : dans notre petit schéma, EE l’être, ou élément être, sera la catégorie des ensembles, puisque nous avons vu que l’on peut suivre Badiou en considérant que la théorie Des ensembles (pour nous la catégorie des ensembles) correspond (est, selon Badiou) l’ontologie, théorie de l’être en tant qu’être. Nous désignerons par E cette catégorie des ensembles, qui est un topos.
S le savoir sera pour nous une catégorie, généralement un topos, avec « plus de structure », c’est à dire plus de complexité et d’unification, que E qui correspond comme nous l’avons déjà expliqué à l’ignorance naturelle, au savoir minimal : ce sont les relations qui désignent le savoir, qui consiste à relier plusieurs événements, or un ensemble est une catégorie sans flèches (sans relations).
Le foncteur reliant E et S jours le rôle de l’élément neutre, c’est à dire de l’UN en métaphysique : aussi le notons nous U.

Notre situation de départ est donc un foncteur ;

U : E ———–> S

Simone Weil et la mathématique

J’ai déjà évoqué cet article du mathématicien Laurent Lafforgue :

http://www.ihes.fr/~lafforgue/textes/SimoneWeilMathematique.pdf

qui en 12 pages très denses effectue un survol (mais très précis, très scientifique) des relations qu’entretenait Simone Weil avec la mathématique dont son frère André Weil, mathématicien célèbre du groupe Bourbaki, l’entretenait souvent.

http://www.ihes.fr/~lafforgue/

http://fr.wikipedia.org/wiki/Laurent_Lafforgue

Cette relation cruciale de Simone Weil avec la mathématique est marquée dès l’adolescence par sa « vocation à la vérité », qui est d’ordre religieux.

« Désir de la vérité, attente de la vérité, confiance dans la vérité, amour de la vérité« .

Aussi Laurent Lafforgue choisit il de mettre « mathématique » au singulier, comme vérité : la mathématique, la vérité.

Accumuler trop de connaissances vraies, toujours particulières, est un piège sur cette voie de la transfiguration de la connaissance, comme Pascal l’avait déjà vu quand il dénonçait la « libido sciendi »  (aussi dans le fil « Ma nuit chez Maud » que j’ai commenté ici, Jean Louis Trintignant prête t’il à Pascal un rejet des mathématiques, mais cela ne concerne pas LA mathématique, il s’agit juste de la condamnation de la « libido sciendi », qui est du même ordre que la gourmandise ou la luxure, voire même plus grave ? en tout cas David Fincher ne l’a pas incluse dans son film « Se7en », parmi les sept péchés dits « capitaux » punis par un criminel dément ….

Simone Weil évite cette tentation en approfondissant plutôt qu’en élargissant le champ des connaissances:

« Si, en une matière quelconque, on connaît trop de choses, la connaissance se change en ignorance, il faut s’élever à une autre connaissance….

…non pas comprendre des choses nouvelles, mais parvenir à force de patience, d’effort et de méthode à comprendre les vérités évidentes avec tout soi même ».

Or toute vérité (mathématique) est si l’on y pense évidente, mais par le biais de « médiations » qui sont les démonstrations.

Cette « autre connaissance », qui n’est pas une « gnose » ou autre connaissance  secrète ou ésotérique ou « mystique » (selon nous imaginaires)  réside , selon nous toujours, dans l’unification, qui est l’essence même du platonisme évolutif (tenant compte du progrès des connaissances véritables, scientifiques) et de la mathesis universalis comme philosophie dérivée de la théorie des catégories, ou les objets sont reliés par des morphismes ou foncteurs, et ainsi le champ de la connaissance est unifié : au fond ce que nous devons et voulons faire ici , ou sur les trois autres blogs « mathesis universalis οντοποσοφια » :

https://mathesismessianisme.wordpress.com/

https://mathesisuniversalis2.wordpress.com/

https://meditationesdeprimaphilosophia.wordpress.com/

c’est poursuivre (à notre modeste mesure) l’oeuvre de Léon Brunschvicg :

« Les étapes de la philosophie mathématique »

en y intégrant la théorie des catégories qu’il n’a pas pu connaître puisqu’elle est née en 1945, un an après sa mort.

Bien qu’elle ait eu des rapports difficiles et conflictuels avec Brunschvicg (qui était son directeur de thèse) pour le diplôme de fins d’études), on se rend compte qu’en ce qui concerne la mathématique et la vérité leurs pensées sont en fait très proches.

Pourtant elle dit aussi dans son premier Cahier (page 3 de l’article de Lafforgue) :

« la mathématique n’est pas vulgarisable, justement à cause de la part du hasard, de l’imprévu, qui font qu’elle n’est pas une »

ce qui semble le contraire de ce que nous affirmons ici, à savoir que la  mathesis universalis οντοποσοφια est le domaine de la pensée selon l’Un, en tant qu’elle s’oppose à la pensée selon l’être, dite « ontologique », pensée du multiple pur des « étants ».

Mais la pensée selon l’Un contient, d’une certaine façon, la pensée selon l’être comme la théorie des catégories contient la théorie des ensembles (qui sont une catégorie particulière).

D’ailleurs pourquoi alors devrait on dire LA mathématique et non pas LES mathématiques si « cette science » n’est pas une ?

Ce que Simone Weil veut dire c’est qu’elle n’est pas vulgarisable parce qu’elle n’est pas de l’ordre d’un objet déjà bâti que l’on pourrait regarder de l’extérieur et « en gros »  : il faut se soucier des détails et de la précision, de la rigueur, et entrer dedans.

et « dedans » est le domaine de l’incessante activité unificatrice qui est la pensée selon l’Un, non pas d’un « Un » qui serait (transcendant) , comme le Dieu Un de la Bible ou du Coran , mais d’un Un qui doit être, qui est toujours en cours de constitution, d’unification.

L’Un n’est pas (conclusion juste de Badiou pour le Parménide de Platon) mais il DOIT être.

Cette part de l’imprévu (dont parle Simone Weil) dans le progrès de la mathématique , est évidente : qui aurait pu prévoir au début des années 40 l’apparition de la théorie des catégories en 1945, et les travaux de Grothendieck dans les années 50 et 60 qui ont débouché sur la création de la théorie des topoi ?

Et pourtant la théorie des catégories est un merveilleux cadre d’unification de TOUTE la mathématique (ce que n’est pas la théorie des ensembles) comme on le comprend après 1945 : LA mathématique DOIT être une (à la fin des Temps qui n’est pas de l’ordre du temps) donc elle AURA été en cours d’unification avant la théorie des catégories et depuis toujours, mais cela seule la théorie des catégories permet de le comprendre rétrospectivement.

Quant à Grothendieck, Laurent Lafforgue, qui connait son sujet, dit plus loin (page 7) que « l’oeuvre merveilleusement géométrique et conceptuelle d’un autre géant des mathématiques de notre temps, Alexandre Grothendieck, n’est pas sans faire écho à certaines intuitions de Simone Weil »

remarquons qu’il met ici les mathématiques au pluriel : LA mathématique est de l’ordre de l’idéal, de l’Idée, les mathématiques sont LA mathématique en cours de création, c’est à dire d’unification.

Cet article de Lafforgue est tellement crucial (mot venant de CROIX) que je clos ici cet article, pour ne pas alourdir l’effort requis du lecteur (et non du lecTUEUR) d’entrer dans cet ordre de préoccupations, son étude sera continuée plus tard…

Category of categories as a model for the platonic world of forms

http://www.math.uga.edu/~davide/The_Category_of_Categories_as_a_Model_for_the_Platonic_World_of_Forms.pdf

application immédiate et mise en oeuvre de l’article précédent : la théorie des catégories est le stade le plus achevé de la mathématique universelle, son algébrisation la plus complète, datant de 1945.

Il n’ y a pas d’ensemble de tous les ensemnles (paradoxe de Russell) , mais il y a la catégorie de toutes les catégories.