Archives du mot-clé William Lawvere

Plan de travail sur les topoi et les n-topoi

Je me suis déjà expliqué sur le programme à suivre, notamment ici:

https://mathesisuniversalis.wordpress.com/2015/06/24/morphismes-geometriques-et-2-categorie-topos-des-topoi-comme-cadre-general-de-nos-travaux/

Ce projet de « parcours » n’est rien d’autre que l’axe horizontal de la « loi de création » d’Hoené Wronski (1776-1853) entre l’élément-être EE et l’élément-savoir ES, mais totalement réintégré dans la mathematique, à savoir le SEUL domaine théorique où l’on puisse réellement vérifier, ou réfuter, en démontrant rigoureusement nos propres affirmations.
J’ai aussi expliqué, à propos du travail extraordinaire de David Ellerman « Concrete universels in category theory » que nous nous situons ici complètement sur le plan de l’Idee, fidèles à l’obligation de la physique de « dissoudre » ses objets en entités mathématiques. Les êtres, pour nous, ce ne sont plus les arbres, les maisons, les chaises : ce sont les ensembles, et l’ontologie c’est la théorie des ensembles, qui étudie le topos paradigmatique des ensembles, qui est abordable par la théorie des topoi élémentaires, c’est à dire comme catégorie qui a toutes les limites finies, qui est cartésienne fermée, et qui a un classificateur de sous-objets ( qui dans le cas du topos Ens est l’ensemble {0, 1} des valeurs de vérité, c’est ce que Badiou appelle le transcendantal Ω dans un topos quelconque).
Une définition alternative des topoi élémentaires est : ce sont les catégories qui ont toutes les limites finies et aussi les « power objects », qui dans le cas des ensembles sont les ensembles des parties P(X) d’un ensemble X.
Sur tout cela voir la page du Nlab:

http://ncatlab.org/nlab/show/topos
mais nous reviendrons sur toute ces idées non encore abordées (limites, classificateur de sous-objets, etc..)
L’autre façon d’aborder les topoi, c’est la théorie des topoi de Grothendieck, qui revient au même, mais avec des liens avec la topologie notamment.
Un topos de Grothendieck est la généralisation des faisceaux sur un espace topologique X :

Sh(X)

Si l’on prend pour X l’espace réduit à un point {*} on obtient le topos des ensembles:

Ens = Sh(*)

Le « trajet » dans le « monde des idées » que nous visons part donc du topos Ens = Sh(*) comme topos ontologique, Idée de la multiplicité pure sans relations entre les objets, et donc de l’ignorance : il n’est donc pas étonnant que la physique « classique », élaborée il y a quatre siècles, corresponde selon les théories récentes de la « physique des topoi » (« topos physics ») à ce topos des ensembles qui est en quelque sorte son cadre théorique.
Le trajet peut aussi être considéré comme celui de l’unification progressive, c’est à dire de l’intelligibilité et du Savoir croissant: de l’élément-être EE qui est dans notre schéma, ou correspond au topos Ens, en s’élevant progressivement vers ES élément-savoir selon l’échelle des topoi ayant « plus de structure » et celle des 2-topoi, n-topoi : la « higher topos theory ».
Cela est d’autant plus exaltant que ce domaine est en friches, il est en quelque sorte le « 

Far West

 » des mathématiciens-philosophes, exploré seulement par quelques pionniers solitaires comme Jacob Lurie:

https://meditationesdeprimaphilosophia.wordpress.com/2015/06/19/jacob-lurie-continuateur-de-grothendieck/

Mais même l’énorme livre de Jacob Lurie, près de mille pages, « Higher topos theory » n’aborde qu’une partie très restreinte de l’immense domaine : celui des

(∞,1)-topoi

Voir:

http://ncatlab.org/nlab/show/%28infinity%2C1%29-topos+theory

et

https://mathesisuniversalis.wordpress.com/2015/07/26/lhumanite-est-dans-les-tenebres-sur-la-theorie-des-higher-categories/

La première marche que nous devons gravir après les topoi est celle des 2-topoi sur laquelle des travaux existent.

Or si l’exemple paradigmatique d’un topos est la catégorie Ens des ensembles, l’exemple paradigmatique d’un 2-topos est la 2-catégorie CAt des catégories, foncteurs et transformations naturelles.

http://ncatlab.org/nlab/show/Cat

Or deux théories entièrement categoriques, largement dûes à William Lawvere, existent sur la théorie et la catégorie des ensembles et sur la 2-catégorie des catégories:

ETCS (« elementary theory of the category of Sets » voir:

http://ncatlab.org/nlab/show/ETCS

et ETCC (« elementary theory of the category of categories »)

voir:

http://ncatlab.org/nlab/show/ETCC

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The category of categories as a model for the platonic world of forms (David Edwards)

J’avais déjà donné un lien pour cet article datant de 1968 et si proche des thèmes de ce blog, mais l’adresse a changé, elle est désormais:

http://alpha.math.uga.edu/%7Edavide/The_Category_of_Categories_as_a_Model_for_the_Platonic_World_of_Forms.pdf

Il affirme page 3 que :

« Le travail de William Lawvere est l’union du formalisme de Descartes et de la conceptualisation de Platon »

Lawvere réussit à donner une série d’axiomes qui caractérise de manière univoque la catégorie des categories, qui représente le versant mathématique du monde platonicien des formes.
Il réussit là où Platon avait échoué à dépasser les simples concepts parce qu’il n’avait pas les mathématiques universelles dont il avait besoin. Même Leibniz et Whitehead ne les avaient pas.

Nous devons donc retenir comme cadre pour nos recherches deux 2-categories :

CAT la 2-categorie des catégories, foncteurs et transformations naturelles

Topos la 2-categorie des topoi, morphisme sur géométriques et transformations géométriques.

Voir:

https://mathesisuniversalis.wordpress.com/2015/06/24/morphismes-geometriques-et-2-categorie-topos-des-topoi-comme-cadre-general-de-nos-travaux/

Rappelons aussi que CAT est l’exemple archétypique d’un 2-topos, de même que Ens est l’exemple archétypique d’un topos:

https://golem.ph.utexas.edu/category/2008/01/2toposes.html

« MathML-enabled post (click for more details).
A 1-topos is a kind of 1-category. The 1-category of sets is a paradigmatic example, in which 1→2 (the set of truth values) is the classifier.

A 2-topos is a kind of 2-category. The 2-category of categories is a paradigmatic example, in which Pointed Set → Set is the classifier.

Hmmm, so what’s a 0-topos? It ought to be a kind of 0-category or set. The set of truth values should be a paradigmatic example. What kind of set should it be?

If in Set we have A→2A, and in Cat we have C→SetCop, is there a 0-Yoneda?

If it is possible to extract an internal language from a topos, what results from a similar process applied to a 2-topos? Do we find that it supports a higher order categorified logic? »

La page de David Edwards contient de nombreux travaux intéressants:

http://alpha.math.uga.edu/~davide/

2-catégories vues comme « doctrines »

Nous avons déjà vu l’importance des 2-catégories comme cadre théorique de l’adjonction:

https://mathesisuniversalis.wordpress.com/2015/07/17/adjonction-3-dans-le-cadre-des-2-categories/

Elles peuvent être regardées comme des ensembles structurés, des catégories, de théories, appelées « doctrines »:

https://en.m.wikipedia.org/wiki/2-category#Doctrines

Les objets sont vus commes les théories, les 1-morphismes comme modèles des théories et les 2-morphismes comme morphisme sur entre les modèles.
La page du Nlab est beaucoup plus détaillée là dessus:

http://ncatlab.org/nlab/show/doctrine

On lui adjoindra cet article du blog n-category cafe, portant à la fois sur la physique, la mathématique et la philosophie:

https://golem.ph.utexas.edu/category/2006/09/doctrines.html

en suivant les dialogues entre ces penseurs à chaque article : dans ce blog les réponses aux articles sont souvent aussi intéressantes, sinon plus.

D’ailleurs je me demande pourquoi je me fatigue à faire mes blogs, alors que tout est déjà là dans « n-category cafe », et que je ne risque pas d’atteindre un jour leur niveau en maths et en physique.

La réponse à cette question en forme d’aporie que je me pose à moi même n’est pas:

« Parce qu’il faut bien quelque chose quand on n’a plus de goût pour rien de ce qui intéresse en général les humains »

mais

« Parce que mon point de vue est différent, quoique difficile à préciser : la « pensée selon l’un », thème le plus crucial de la pensée de Brunschvicg, est quelque chose de tellement important qu’elle efface tout le reste, sciences comprises, et vaut bien qu’on lui consacre le restant de sa vie, au risque de ne déboucher sur rien (ce qui est de toutes façons l’aboutissement final de ceux qui ne vivent que pour vivre). »

Le paragraphe important dans la page Nlab est « Idea » et le mot important, en hyperlien qui mène à une autre page, est : « categorification »:

http://ncatlab.org/nlab/show/vertical+categorification

En gros cela consiste à monter d’un cran dans l’arbre des n-catégories : ainsi la categorification de l’idée « ensemble » est la catégorie, la categorification du groupe est le groupoide, celle de l’idée de catégorie est l’idée de 2-catégorie, etc..

Les doctrines sont donc des 2-théories, catégorification de l’idée de théorie.

Informelle ment, le modèle d’une théorie est une structure mathématique où cette théorie fonctionne : ainsi un groupe est un modèle de la théorie des groupes.

Mais cette conception qui consiste à considérer une 2-catégorie comme une doctrine, dont les théories(qui sont des catégories) sont les objets et les 1-morphismes (qui sont des foncteurs) sont des « modèles »permet de donner un sens rigoureux, alternatif à la logique mathématique (profondément revisité par les travaux de Lawvere entre autres), à ces notions.

Un foncteur:
F : C —————> D

est un modèle de C (vue comme théorie) dans D.

John Baez donne plusieurs exemples dans le lien ci dessus du n-category cafe, le plus simple étant la doctrine des théories algébriques, dont les objets sont les catégories munies des produits finis (ce qui veut dire qu’on peut y définir le produit d’un nombre fini d’objets), les morphisme sur sont les foncteurs préservant les produits finis, et les 2-morphismes sont les transformations naturelles.

Cette doctrine qu’il appelle FinProdCat « encode » ce que l’on appelle en logique « algèbre universelle », dont Baez donne un lien de cours:

http://www.math.uwaterloo.ca/~snburris/htdocs/ualg.html