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Morphismes géométriques et 2-catégorie Topos des topoi comme cadre général de nos travaux

Répétons donc le schéma général auquel nous sommes parvenus hier, voir:

https://mathesisuniversalis.wordpress.com/2015/06/23/retour-a-ou-detour-par-la-triade-des-elements-primitifs-de-wronski/

Rappelons que nous y arrivons en tentant d’intégrer ce que le mathématicien-philosophe Hoené Wronski (1776-1853) appelle « élément neutre » comme identité primitive du savoir et de l’être.
Le développement progressif du savoir mathématique et scientifique est ce que nous appelons aussi unification progressive des connaissances humaines véritables (rationnelles, vérifiables ou réfutables) , l’être est ce que Brunschvicg et Marie Anne Cochet appellent la « forme d’exteriorité ». L’élément neutre est alors ce que la métaphysique traditionnelle nomme l’Un. Mais nous nous refusons, pour des raisons tant de fois évoquées, à envisager l’Un transcendant ou « séparé » qui serait l’Un « séparé » de l’activité de connaissance et d’unification humaine; cet « Un séparé » est celui du « Shema Israël » dans la Torah.
Nous voulons donc examiner cet « Un », ou élément-neutre, sans quitter le plan mathématique de l’idée pour celui de la mystique ou de la croyance, et nous arrivons ainsi au schéma fonctoriel:

U : E —————-> S

Où E et S sont deux catégories, qui seront généralement des topoi, à cause des bonnes propriétés dont jouissent ces types de catégories, et où U est un foncteur.

E, qui désigne l’élément-être, sera en général le topos des Ensembles.

Nous savons alors qu’un foncteur contravariant :

S ——————> E

est appelé en mathématiques un prefaisceau, et qu’avec quelques conditions il est un faisceau.

Les préfaisceaux sur S c’est à dire tous les foncteurs de cette sorte forment un topos, et c’est aussi le cas des faisceaux (les noms anglais sont « presheaves » et « sheaves ») en prenant pour morphisme sur entre deux foncteurs les « transformations naturelles » (je reviendrai sur ces notions de base dans des articles spécialement dédiés).

Voir là dessus les pages du nLab:

Presheaf in NLAB

ou en français la page Wikipedia qui commence par un cas spécial de préfaisceau, défini sur un espace topologique:

https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Préfaisceau

(Si vous n’êtes pas familier de ces notions, pas la peine de tout lire en détail, nous y reviendrons souvent, contentez vous de savoir que les préfaisceaux en tant que foncteurs rentrent dans notre schéma).

Je rappelle ici que David Rabouin, dans son article sur le cadre mathématique de « Logiques des mondes » de Badiou, termine sa conclusion en insistant sur l’importance cruciale de ces objets : les faisceaux. Voir là dessus:

https://mathesisuniversalis2.wordpress.com/2015/06/10/objet-relation-et-transcendantal-le-formalisme-de-logiques-des-mondes/

Mais complexifions un peu notre schéma général : pour des considérations de symétrie nous pouvons examiner le cas de deux foncteurs en sens inverse entre les deux topoi E (qui est le topos des Ensembles) et S (qui est un topos avec plus de structure, qui pourra par exemple être un topos de faisceaux).

Si en plus nous exigeons que ces deux foncteurs soient en situation d’adjonction, ce qui est normal car l’adjonction de foncteurs est assurément la notion la plus importante de la théorie des catégories.

Nous obtenons alors la notion de morphisme géométrique, voir:

http://ncatlab.org/nlab/show/geometric+morphism

à laquelle j’ajoute la page sur les morphisme sur géométriques locaux:

http://ncatlab.org/nlab/show/local+geometric+morphism

mais c’est juste pour en garder trace, je reviendrai sur tout cela, et j’expliquerai soigneusement toutes les procédures que je mettrai en oeuvre, pas besoin de lire tout cela dès aujourd’hui : encore une fois ce n’est pas un blog mathématique mais philosophique-religieux, et ici pas de prières ni autres bondieuseries, nous utilisons la mathématique pour progresser à notre rythme vers le Bien, qui commence par l’honneteté et la rigueur de la pensée.

« Tous les topoi » accompagnés des morphismes géométriques entre eux forment la catégorie Topos dont la page est ici sur le nLab:

La 2-catégorie Topos

C’est plus qu’une catégorie : une 2-categorie.

Les objets sont « tous les topoi », les flèches (ou morphismes) sont les morphismes géométriques, et les 2-morphismes, flèches entre les morphismes géométriques, sont les « transformations géométriques »:

http://ncatlab.org/nlab/show/geometric+transformation

Tout cela nous mène aussi vers la « Higher topos theory » de Jacob Lurie, le nouveau Grothendieck, voir:

Jacob Lurie continuateur de Grothendieck

et nous ne serons pas longs à gravir les premières pentes de cette Montagne sacrée de près de mille pages.

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Retour à (ou détour par) la triade des éléments primitifs de Wronski

Dans cet article déjà assez ancien :

https://balzacwronskimessianisme.wordpress.com/2012/04/26/la-loi-de-creation-de-wronski-et-la-theorie-des-topoi/

j’avais fait correspondre aux trois éléments primitifs du philosophe-mathématicien Hoené Wronski : élément être EE, élément savoir ES et élément neutre EN, qui se trouvent en tout système de réalités (voir lien ci dessus)une situation très générale en mathématiques, à savoir deux catégories EE et ES, jouant respectivement le rôle de l’élément être et de l’élément savoir, reliées par un foncteur jouant le rôle de l’élément neutre EN.
Lorsque la « loi de création » de Wronski est prise dans un sens absolu, métaphysique, l’élément neutre est dit : « identité primitive de l’être et du savoir ».
Cependant comme nous l’avons déjà expliqué nous faisons le choix de remplacer les « logoi » de la vieille métaphysique par les mathemata, choix que n’aurait pas désavoué le mathématicien Wronski, et choix qu’il a fait lui même puisqu’il prend comme premier système de réalités le domaine des mathématiques, et étend ensuite sa loi à tous les autres domaines de recherches.
Cependant Wronski se situe à la charnière d’une évolution survenant chez et par son contemporain Galois : l’évolution des éléments simples aux structures, notamment celle des groupes. Wronski manque le train galoisien et en reste aux éléments.
Nous nous situons quant à nous après la seconde évolution, survenue en 1945, qui passe des structures aux catégories.
Les notions (logoi) métaphysiques de Wronski sont donc remplacées par des notions mathématiques appartenant à la théorie des catégories : dans notre petit schéma, EE l’être, ou élément être, sera la catégorie des ensembles, puisque nous avons vu que l’on peut suivre Badiou en considérant que la théorie Des ensembles (pour nous la catégorie des ensembles) correspond (est, selon Badiou) l’ontologie, théorie de l’être en tant qu’être. Nous désignerons par E cette catégorie des ensembles, qui est un topos.
S le savoir sera pour nous une catégorie, généralement un topos, avec « plus de structure », c’est à dire plus de complexité et d’unification, que E qui correspond comme nous l’avons déjà expliqué à l’ignorance naturelle, au savoir minimal : ce sont les relations qui désignent le savoir, qui consiste à relier plusieurs événements, or un ensemble est une catégorie sans flèches (sans relations).
Le foncteur reliant E et S jours le rôle de l’élément neutre, c’est à dire de l’UN en métaphysique : aussi le notons nous U.

Notre situation de départ est donc un foncteur ;

U : E ———–> S