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Approche covariante : « a topos for algebraic quantum theory » (Spitters, Heunen, Landsman)

Il y a deux versions de cet article merveilleux qui va permettre d’éclairer et de continuer notre récent article :

https://mathesisuniversalis.wordpress.com/2015/08/06/deux-sortes-dapproche-utilisant-la-theorie-des-topoi-en-physique-quantique-contravariante-et-covariante/

Version compliquée sur Arxiv:

http://arxiv.org/abs/0709.4364

Version plus simple, correspondant aux transparents d’un exposé, que nous préférerons dans un premier temps:

http://www.cs.ru.nl/~spitters/Quantum.pdf

La compréhension en est aidée par la version simplifiée d’un article de Landsman « The principle of general tovariance » dont j’ai déjà parlé:

http://www.math.uni-hamburg.de/home/schreiber/tovariance.pdf/a>

Landsman, Spitters et Heunen : ce sont bien les noms cités dans l’article de Wolters comme principaux représentant de l’approche covariante en physique quantique selon la théorie des topoi, approche caractérisée par l’utilisation des C*-algebres et la doctrine de Bohr des « concepts classiques »: les phénomènes quantiques échappent certes à l’explication par la physique classique, mais nous ne pouvons en parler à nos interlocuteurs qu’aux moyens de concepts classiques. Nous ne pouvons observer la réalité quantique qu’au travers de « lunettes classiques », une mesure étant un « instantané classique » (a « classical snapshot ») de la réalité.
Commençons par cette physique classique dont la structure mathématique est décrite (sommairement bien sûr) page 8 avec un espace des phases

Σ

(« phase Space ») qui décrit le système , et qui est un sous-ensemble de:

Σ ⊂ Rn x Rn

(J’ai des problèmes de notations, il s’agit évidemment de R à la puissance n, espace vectoriel des vecteurs à n composantes réelles)

Pourquoi Rn ?

Parce que la position est à trois coordonnées, puisque l’espace à trois dimensions, même chose pour le moment (masse multipliée par vitesse), et on a ainsi un triplet pour chaque particule du système, ce qui donne pour q particules indépendantes 3q = n coordonnées de position et aussi n pour le « moment ».

https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Espace_des_phases

Un observable, comme l’énergie, est une fonction à valeurs réelles sur Σ, une proposition est du type:

A ∊ I

où I est un intervalle de R (corps ordonné des nombres réels) et A un observable.
Une proposition peut donc être vue comme un sous-ensemble de l’espace des phases Σ (les éléments de Σ tels que la fonction A qui est l’observance soit dans l’intervalle I)

On manipule ensuite les propositions élémentaires de ce type au moyen des connecteurs de la logique classique, interprétés selon les opérations ensemblistes d’union, intersection, complément voir page 9 sur 69

Page 10: la généralisation de ce cadre à la physique quantique demande donc:

– d’identifier un espace de phases Σ valide pour le cas quantique.
– d’identifier des analogues de sous-ensembles de cet espace Σ (qui seront des sous-objets dans un topos) qui joueront le rôle de propositions élémentaires
– de définir en relation avec Σ ce que seront les observables et les états.
– associer les propositions en tant que sous-ensembles (sous-objets) de Σ à un observable A et à un intervalle I de R de façon à ce qu’elles expriment par un sous-objet de Σ une appartenance :

A ∊ I

La page 12 explique la première tentative de Von Neumann (vous savez, le grand génie qui buvait sec et qui aurait été selon l’émission Thema de Arte d’il y a trois jours le modèle qui a inspiré à Kubrick le personnage du Docteur Folamour):
Les espace des phases Σ est un espace de Hilbert, les propositions sont des sous-espaces, les observables sont des opérateurs auto-adjoints sur cet espace, mais Von Neumann a ensuite abandonné ce cadre (les raisons en sont abordée dans l’autre papier, celui de Landsman sur la tovariance)

On en vient alors à la proposition dite « covariante » des auteurs, pages 13 à 15, appelée Bohrification parce qu’elle s’inspire (page 14) de la doctrine des « concepts classiques » de Bohr : on ne peut étudier la réalité quantique qu’à travers des « fenêtres classiques »

Page 13: cette approche dite « covariante » selon la théorie des topoi consistera à mixer la géométrie non commutative d’Alain Connes, mathématiquement les C*-algebres, aux topoi et locales de Grothendieck.

Ce mixage ou connexion de deux généralisations s’effectuera à l’aide de trois domaines:

– AQFT : algebraic quantum (field) theory

– dualité de Gelfand

– la doctrine philosophique de Bohr

Page 15 : le cadre mathématique sera celui d’une C*-algebre A, les « fenêtres classiques » de Bohr seront les sous-C*-algebres commutatives de A qui seront organisées en une catégorie C(A) qui sera l’ensemble ordonné de ces sous-algebres V, l’ordre étant celui de l’inclusion:

V < W si et seulement si V ⊂ W

et le topos sera celui des foncteurs covariants de C(A) vers Ens le topos des ensembles

Nous devrons expliquer les nouvelles idées mathématiques introduites (notamment l’internalisation dans un topos) pour continuer, mais le cadre général de l’approche covariante est clarifié je pense..

Deux sortes d’approche utilisant la théorie des topoi en physique quantique : contravariante et covariante

Cet article de Wolters:

http://arxiv.org/pdf/1010.2031v2.pdf

effectue un travail de clarification précieux sur un thème, celui de la révolution toute récente de la physique théorique par la théorie des catégories, n-categories, topoi et sans doute un jour le n-topoi, qui est sans doute le plus important du point de vue envisagé ici et sur les autres blogs de:

Henosophia μαθεσις uni√ersalis τοποσοφια TOPOSOPHIA MATHESIS οντοποσοφια ενοσοφια

Rappelons brièvement la raison, philosophique, de ce dernier point, voir aussi:

https://mathesisuniversalis.wordpress.com/2015/06/24/morphismes-geometriques-et-2-categorie-topos-des-topoi-comme-cadre-general-de-nos-travaux/

et

https://mathesisuniversalis.wordpress.com/2015/06/23/retour-a-ou-detour-par-la-triade-des-elements-primitifs-de-wronski/

Nous partons de la triade philosophique du mathématicien-philosophe Hoené Wronski (1776-1853), triade qui est aussi dans Schelling et bien d’autres sans doute (mais le lien avec la mathématique est absent); les éléments de cette triade sont appelés par Wronski : élément être EE, élément savoir ES, et élément neutre EN comme « union primitive de l’être et du savoir ».

Nous simplifions (outrageusement) ce schéma métaphysique : EE c’est pour nous les étants « naturels », les chiens, les arbres, les amoureux qui font de la barque en récitant de la poésie : « O temps suspend ton vol.. ».
ES ce sont les idées de ces étants, ainsi j’ai une idée du chien en général, idée qui n’aboie pas ni ne frétille de la queue.
Cependant il faut un troisième élément qui sera EN, chargé d’assurer que la correspondance entre les idées et les choses sera valide, que l’idée de chien correspondra bien au chien et non à l’arbre (sinon nous serions dans un poème surréaliste ou dadaïste) et qu’elle est universelle , la même pour tout le monde.
L’attribut Étendue chez Spinoza joue le rôle de EE, et l’attribut Pensée le rôle de ES; quant à EN, il doit être mis en rapport avec l’infinité des autres attributs de « Dieu » dont nous ne pouvons avoir selon Spinoza aucune idée ni notion ni connaissance.

D’ailleurs nous ne pouvons avoir aucune compréhension non plus de EN comme « union primitive de l’Etre et du savoir » : qui pourrait prétendre, à part bien sûr les charlatans religieux, sectaires, kabbalistes ou métaphysiciens, comprendre les « temps primitifs » avant qu’il y ait le Temps et l’Univers?

Il y en a bien cependant des savants de cette sorte, à la fois physiciens et mathématiciens, qui prétendent non pas comprendre, mais travailler, au moyen de la discipline scientifique appelée « cosmologie », à avoir une compréhension croissante quoique jamais définitive, au moyen de vérités positives et vérifiables donc pouvant être vérifiées, de ces « mystères » qu’un charlatan comme René Guénon (ou Abdelwahid Yahia de son nom musulman, acquis une fois qu’il a fui définitivement l’Europe et sa femme pas assez docile à son goût pour l’Egypte où il trouva une épouse musulmane bien plus soumise) appelle des « petits mystères » par comparaison aux « Grands Mystères ».
Seulement « mystère » est une pièce de monnaie qui n’a pas cours ici.
Si nous en restions aux mots, aux « logoi »: être, savoir, Un, nous serions nous aussi, comme Guénon, bloqués ici, et forcés si nous sommes honnêtes de répéter comme Hamlet:
« Words! Words! Words! »
ou bien, si nous sommes malhonnêtes, de prétendre comme tous les mystagogues « en savoir plus » selon une intuition mystérieuse d’un sens régénéré des « mots de la tribu ».
Nous suivrons donc, plutôt que les gourous comme Blavatsky, Rudolf Steiner d’après 1901 ou Guénon (qui de surcroît disent des choses incompatibles et incohérentes) les cosmologie tes scientifiques, sans cependant renoncer tout à fait au schéma de Wronski appelé « loi de création » que nous « adaptons » (doux euphémisme!) en une version vérifiable sur le modèle du « déplacement de l’axe de la vie religieuse » qui est l’émergence d’une physique mathématique au 17 eme siècle européen qui aboutit à la physique moderne.
Ceci veut dire que nous oublions les étants naturels : choses, ustensiles, animaux, ce monde de la perception humaine à vocation utilitaire, visant à conserver ou améliorer la vie humaine, celle (au plan naturel) d’un animal n’ayant aucune primauté ontologique ou théologique sur ses cousins les primates de la jungle.
Mais nous avons la chance de connaître, si nous voulons y prêter attention, la fascinante relecture de trois ou quatre siècles de physique entreprise par la nouvelle discipline, mi-physique mi-mathématique, appelée « topos physics » qui forme le thème de cet article, une relecture qui n’est possible qu’à la lumière de nos plus récentes connaissances mathématiques : ce n’est qu’au crépuscule du vingtième siècle (siècle de l’horreur des guerres mondiales, qui annonce l’horreur de la troisième guerre mondiale maintenant commencée) que la chouette de Minerve née au 17 eme siècle avec la révolution scientifique prend son envol définitif.
Écoutant les leçons de cette rétrospection de la physique des topoi nous remplaçons l’élément-être, qui déjà n’est qu’une abstraction du « monde naturel » des étants naturels, par le topos des ensembles, associé par la « topos physics » au stade classique de la physique, celui de Newton.
Nous avons une autre motivation à cela, notre lecture, ou plutôt relecture, des deux seuls ouvrages importants d’Alain Badiou : « L’être et l’événement » et « Logiques des mondes ».
Le premier associe la théorie de l’être en tant qu’être, appelée « ontologie » depuis Aristote, à la théorie des ensembles ZF, axiomatisée par Zermelo-Fraenkel, doctrine du multiple pur.
Faisant le choix d’ignorer les arguties pseudo-mathematico-philosophiques de Badiou sur la différence philosophique fondamentale entre l’ontologie ensembliste et la théorie des topoi, cadre logique de l’apparaître des mondes (par rapport à l’être pur du cadre des ensembles) nous identifions le cadre ensembliste du multiple pur au topos des ensembles associé par les philosophes-savants développant depuis 20 ans la « physique des topoi », qui ont bien autant de légitimité sinon plus que Badiou, et nous obtenons immédiatement une sorte de confirmation qui nous encourage et nous assure que nous sommes sur la bonne voie (si nous nous apercevons que nous nous sommes trompés il sera toujours temps de tout jeter au feu et d’aller nous consoler au bistrot) : c’est que la multiplicité pure des ensembles correspond à l’ignorance qui était le propres des époques d’avant la science européenne, puisque le recul de l’ignorance, la connaissance, correspond à l’établissement de relations, de flèches, de morphismes, dans la multiplicité des « chocs sensibles » : un ensemble est une catégorie sans morphismes entre les éléments. Il n’est donc pas étonnant que la physique classique, première doctrine scientifique apparue sur Terre au sortir des âges d’ignorance de la préhistoire, de l’antiquité et du Moyen Âge (excepté la période de la philosophie grecque et de la science archimédienne, qui ne traitait que la statique) ait pour cadre le topos des ensembles : mais cela nous ne pouvons le savoir que depuis 20 ans, à comparer aux 70 ans d’existence de la théorie des catégories et aux 4 siècles d’existence de la science véritable (émergeant avec la physique mathématique).m
A comparer aussi aux six mille ans des temps historiques, aux deux cent mille ans d’existence de l’homme « moderne » dit aussi « sapiens » en Afrique, et aux plusieurs millions d’années nous séparant de l’apparition de primates pouvant être dits « humains », ainsi bien sûr qu’aux quatre milliards et demi d’âge de la Terre, les premiers exemplaires de vie ayant émergé dans les océans il y a quatre milliards d’années (me semble t’il)

Il est important de bien faire la différence entre ce que nous appelons les deux « conditions » de la Henosophia μαθεσις uni√ersalis τοποσοφια MATHESIS TOPOSOPHIA οντοποσοφια ενοσοφια, à savoir la mathématique et la physique, et c’est justement un « péché » rédhibitoire de la philosophie de Badiou d’ignorer quasiment la physique, et de la remplacer par des « conditions » comme la politique ou l’amour (opérateur de fidélité amoureuse entre un homme et une femme) qui sont propres au plan vital, donc n’ont rien à voir avec la Vérité (comme on s’en aperçoit de plus souvent pour la politique comme pour l’amour, « oiseau rebelle que nul ne peut apprivoiser ».
Un système de pensée fondé sur la mathématique seule n’aurait aucun poids : il y manquerait le contact, par l’expérience, avec la « forme d’extériorité », et aucune vérification ne serait possible, sauf celle proprement mathématique d’absence de contradictions.
Il est par contre vrai que notre système philosophique, celui que nous tentons de créer ici, est de forme mathématique : mais il est crucial pour la raison que nous venons d’indiquer que la physique, et donc l’expérience et la vérification expérimentale, y soit implicitement présenté, et c’est pour cela que la « physique des topoi » est sans doute le thème le plus important pour nous, bien que nous soyons obligés d’exposer pas mal de mathématiques pures pour aborder ces études hautement complexes.
Une autre sorte de « confirmation » venant nous assurer que nous sommes sur la bonne voie tient à la nature des morphismes entre les topoi que nous étudions : ce sont les morphismes géométriques, qui ont la forme d’une adjonction, qui sont retenus, et non pas les morphismes logiques.
Pourquoi? et pourquoi affirmons nous que l’adjonction est une notion absolument fondamentale pour nos recherches ?

https://mathesisuniversalis.wordpress.com/2015/07/17/adjonction-3-dans-le-cadre-des-2-categories/

https://meditationesdeprimaphilosophia.wordpress.com/2015/07/06/une-notion-fondamentale-ladjonction/

https://meditationesdeprimaphilosophia.wordpress.com/2015/07/15/foncteurs-adjoints-et-quelques-considerations-sur-la-philosophie-et-la-τοποσοφια-οντοποσοφια-μ/

https://mathesisuniversalis2.wordpress.com/2015/07/16/adjonction-1-foncteurs-adjoints/

A cause de la nécessaire correspondance entre le plan des idées, qui est celui de la théorie, et le plan des étants, qui est celui du « monde » : si la théorie doit être parfaitement juste, alors toute « relation » véritable et objective entre les objets étudiés doit être exprimée par une relation (une flèche dans une catégorie) dans le cadre mathématique de la théorie. A tel point que j’avais postulé il y a une dizaine d’années, lorsque je commençais à m’occuper sérieusement de Wronski, le nécessité d’une sorte d’adjonction entre ES et EE, entre la connaissance et l’être ; seulement une telle notion n’a de sens réel qu’au sein des mathématiques, ce qui m’avait longtemps bloqué, or cet obstacle tombe si l’on procède comme ici en donnant à nos recherches le cadre de la 2-catégorie

Topos

ayant comme objets les topoi, comme morphismes les morphismes géométriques (qui sont des adjonctions) et comme 2-morphismes les transformations géométriques:

https://mathesisuniversalis.wordpress.com/2015/06/24/morphismes-geometriques-et-2-categorie-topos-des-topoi-comme-cadre-general-de-nos-travaux/

Après cette longue mise au point, qui était nécessaire pour que nous avions une conscience claire de ce que nous faisons ici, contentons nous d’un bref résumé de l’introduction de l’article de Wolters:

http://arxiv.org/pdf/1010.2031v2.pdf

en écartant les détails techniques sur lesquels nous reviendrons de toutes façons souvent.

Les deux approches présentes dans les travaux de « topos physics » sont:

– l’approche contravariante (parce que les topoi retenus sont composés de foncteurs contravariante) qui est retenue dans les travaux pionniers d’Isham et Butterfield, puis dans ceux de Doering et Isham, ces derniers travaux dépassant le pur cadre de la physique quantique, associant un langage à tout système physique et une théorie est une représentation de ce langage dans un topos (toujours muni d’une logique et d’un langage interne). Nous avons commencé à suivre un tel travail d’Isham et Doering ici:

https://meditationesdeprimaphilosophia.wordpress.com/2015/07/18/quest-ce-quune-chose-physique-et-theorie-des-topoi-2/

– l’approche covariante qui est celle retenue dans les travaux de Landsman, Heunen, Spitters voir par exemple cet article à propos d’un exposé de Landsman:

https://mathesisuniversalis2.wordpress.com/2015/08/04/tovariance-et-covariance-en-physique/

Wolters parle aussi au début d’un travail datant de 1995 qu’il ne classe dans aucune approche, le texte en est ici:

https://mathesisuniversalis.wordpress.com/2015/08/05/adelman-corbett-sheaf-model-for-intuitionnistic-quantum-mechanics/

La différence entre les deux approches tient en particulier aux cadres mathématiques utilisés: dans l’approche contravariante, un système physique (quantique) est décrit par une algèbre de Von Neumann A, c’est à dire une algèbre d’opérateurs bornés sur un espace de Hilbert:

https://en.m.wikipedia.org/wiki/Von_Neumann_algebra

et le système des contextes, motivé par le théorème de Kochen-Specker, est l’ensemble ordonné des sous-algebres de A : ν(A)
On aboutit alors au topos des foncteurs contravariants de ν(A vers Ens le topos des ensembles, noté :

[ν(A)_op, Ens]

Dans l’approche covariante, appelée aussi Bohrification parce qu’elle est motivée par la doctrine des contextes classiques de Bohr (un système quantique ne peut être vu qu’à travers des contextes classiques) le cadre n’est plus celui des algèbre sur de Von Neumann, mais celui des C*-algebres:

https://fr.m.wikipedia.org/wiki/C*-algèbre