Approche covariante : « a topos for algebraic quantum theory » (Spitters, Heunen, Landsman)

Il y a deux versions de cet article merveilleux qui va permettre d’éclairer et de continuer notre récent article :

https://mathesisuniversalis.wordpress.com/2015/08/06/deux-sortes-dapproche-utilisant-la-theorie-des-topoi-en-physique-quantique-contravariante-et-covariante/

Version compliquée sur Arxiv:

http://arxiv.org/abs/0709.4364

Version plus simple, correspondant aux transparents d’un exposé, que nous préférerons dans un premier temps:

http://www.cs.ru.nl/~spitters/Quantum.pdf

La compréhension en est aidée par la version simplifiée d’un article de Landsman « The principle of general tovariance » dont j’ai déjà parlé:

http://www.math.uni-hamburg.de/home/schreiber/tovariance.pdf/a>

Landsman, Spitters et Heunen : ce sont bien les noms cités dans l’article de Wolters comme principaux représentant de l’approche covariante en physique quantique selon la théorie des topoi, approche caractérisée par l’utilisation des C*-algebres et la doctrine de Bohr des « concepts classiques »: les phénomènes quantiques échappent certes à l’explication par la physique classique, mais nous ne pouvons en parler à nos interlocuteurs qu’aux moyens de concepts classiques. Nous ne pouvons observer la réalité quantique qu’au travers de « lunettes classiques », une mesure étant un « instantané classique » (a « classical snapshot ») de la réalité.
Commençons par cette physique classique dont la structure mathématique est décrite (sommairement bien sûr) page 8 avec un espace des phases

Σ

(« phase Space ») qui décrit le système , et qui est un sous-ensemble de:

Σ ⊂ Rn x Rn

(J’ai des problèmes de notations, il s’agit évidemment de R à la puissance n, espace vectoriel des vecteurs à n composantes réelles)

Pourquoi Rn ?

Parce que la position est à trois coordonnées, puisque l’espace à trois dimensions, même chose pour le moment (masse multipliée par vitesse), et on a ainsi un triplet pour chaque particule du système, ce qui donne pour q particules indépendantes 3q = n coordonnées de position et aussi n pour le « moment ».

https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Espace_des_phases

Un observable, comme l’énergie, est une fonction à valeurs réelles sur Σ, une proposition est du type:

A ∊ I

où I est un intervalle de R (corps ordonné des nombres réels) et A un observable.
Une proposition peut donc être vue comme un sous-ensemble de l’espace des phases Σ (les éléments de Σ tels que la fonction A qui est l’observance soit dans l’intervalle I)

On manipule ensuite les propositions élémentaires de ce type au moyen des connecteurs de la logique classique, interprétés selon les opérations ensemblistes d’union, intersection, complément voir page 9 sur 69

Page 10: la généralisation de ce cadre à la physique quantique demande donc:

– d’identifier un espace de phases Σ valide pour le cas quantique.
– d’identifier des analogues de sous-ensembles de cet espace Σ (qui seront des sous-objets dans un topos) qui joueront le rôle de propositions élémentaires
– de définir en relation avec Σ ce que seront les observables et les états.
– associer les propositions en tant que sous-ensembles (sous-objets) de Σ à un observable A et à un intervalle I de R de façon à ce qu’elles expriment par un sous-objet de Σ une appartenance :

A ∊ I

La page 12 explique la première tentative de Von Neumann (vous savez, le grand génie qui buvait sec et qui aurait été selon l’émission Thema de Arte d’il y a trois jours le modèle qui a inspiré à Kubrick le personnage du Docteur Folamour):
Les espace des phases Σ est un espace de Hilbert, les propositions sont des sous-espaces, les observables sont des opérateurs auto-adjoints sur cet espace, mais Von Neumann a ensuite abandonné ce cadre (les raisons en sont abordée dans l’autre papier, celui de Landsman sur la tovariance)

On en vient alors à la proposition dite « covariante » des auteurs, pages 13 à 15, appelée Bohrification parce qu’elle s’inspire (page 14) de la doctrine des « concepts classiques » de Bohr : on ne peut étudier la réalité quantique qu’à travers des « fenêtres classiques »

Page 13: cette approche dite « covariante » selon la théorie des topoi consistera à mixer la géométrie non commutative d’Alain Connes, mathématiquement les C*-algebres, aux topoi et locales de Grothendieck.

Ce mixage ou connexion de deux généralisations s’effectuera à l’aide de trois domaines:

– AQFT : algebraic quantum (field) theory

– dualité de Gelfand

– la doctrine philosophique de Bohr

Page 15 : le cadre mathématique sera celui d’une C*-algebre A, les « fenêtres classiques » de Bohr seront les sous-C*-algebres commutatives de A qui seront organisées en une catégorie C(A) qui sera l’ensemble ordonné de ces sous-algebres V, l’ordre étant celui de l’inclusion:

V < W si et seulement si V ⊂ W

et le topos sera celui des foncteurs covariants de C(A) vers Ens le topos des ensembles

Nous devrons expliquer les nouvelles idées mathématiques introduites (notamment l’internalisation dans un topos) pour continuer, mais le cadre général de l’approche covariante est clarifié je pense..